Zeige Folge ist nach oben beschränkt

Question

Aufgabe:

Zeige Folge ist nach oben beschränkt

a₁ =  \( \sqrt{10} \)
a_n+1 = √(10+a_n)
Problem/Ansatz:

mein ansatz: angenommen a_n ist nicht nach oben beschränkt. betrachte K=10. dann gibt es für n gross genug ein a_n sodass a_n > 10 ist. dann, √(10+a_n) < √(a_n+a_n) = √2√a_n
aber dann weiss ich nicht mehr weiter. kann mir wer helfen?

Answer 1

Hallo :-)

Hier ist es einfacher, induktiv vorzugehen. Du kannst ja erstmal ein paar Werte ausrechnen und schauen, wo es so hinläuft. Daraus kannst du mal die Vermutung aufstellen, dass deine Folge durch 4 nachoben beschränkt ist.

Dein eigener Ansatz durch Widerspruch geht schon anfangs schief, da du die Negation zur nicht Beschränktheit nachoben falsch angewandt hast. Nachoben beschränkt heißt ja: Es gibt ein \(M\in \R\), sodass für alle \(n\in \N\) stets \(a_n\leq M\) gilt. In Quantoren ausgedrückt:

$$ \exists M\in \R \ \forall n\in \N: \ a_n\leq M. $$

Die Negation davon lautet:

$$ \forall M\in \R \ \exists n\in \N: \ a_n> M. $$

dann gibt es für n gross genug ein an sodass an > 10 ist.

Da darfst du dein K nicht explizit wählen.

Comments

Danke für die Antwort

Also wäre dies ausreichend als Beweis?

I.B. a₁ = √10 < 4

I.S. a_n=1 = √(10 + a_n) < √14 < 4

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Im Prinzip schon. Ich würde vielleicht noch ein paar Zwischenschritte einbauen, also

I.B \(a_1=\sqrt{10}\stackrel{\sqrt{.} \text{ monoton}}{<}\sqrt{16}=4\)