Vektorräume, lineare Abbildungen, injektiv, bijektiv

Question

Aufgabe:

Aufgabe 4)

Es seien V und W zwei K-Vektorräume und b = {v1, ..., vn} eine Basis von V. Sei Phi: V —> W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:

a) Phi ist genau dann injektiv, wenn Phi (v1),.
...,Phi (vn)  ∈ W linear unabhängig sind.

b) Phi ist genau dann surjektiv, wenn Phi (b) ⊂  W ein Erzeugendensystem ist.

c) Phi ist genau dann bijektiv, wenn Phi(v1), ..., Phi (vn)  ∈ W eine Basis bilden.

Answer 1

Fang mal so an:


a) 

==>  Sei Φ injektiv. Und \( a_1,\dots,a_n \in K \text{ und }   \sum\limits_{i=1}^n a_i\phi(v_i) =0\)

wegen der Linearität also \( \phi(  \sum\limits_{i=1}^n a_iv_i )=0\)

Wegen der Injektivität  \(   \sum\limits_{i=1}^n a_iv_i =0\)

Da b eine Basis ist   \(   a_1=\dots =a_n =0\)

Also    \(  \phi(v_1),\dots \phi(a_n)\) lin. unabh.