Beweisen von injektiv, surjektiv, bijektiv bei verketteten Abbildungen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Mengen A, B und C sowie Abbildungen f : A → B, g : B →C und
h : A → A. Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussagen:
a) g ◦ f ist bijektiv ⇒ f und g sind bijektiv.
b) f ist injektiv und g ist surjektiv =⇒ g ◦ f ist surjektiv.
c) h ◦h = id_A=⇒ h ist bijektiv.

Problem/Ansatz:

Ich hab mir jetzt schon ewig die Definitionen angeschaut und Online recherchiert, aber ich finde keine Möglichkeit da einen Beweisansatz zu finden. Vor allem, da man ja von der linken Seite auf die Reche schließen muss. Habt ihr Ideen?

Answer 1

a) Betrachte f:ℝ⁺→ℝ\{0} und g:ℝ\{0}→ℝ⁺  und f(x)=g(x)=x^2

Dann ist g ◦ f : ℝ⁺→ℝ⁺  gegeben durch ( g ◦ f)(x)=x^4

und für positive Zahlen ist das bijektiv:

Für verschiedene positive a,b sind auch a^4 und b^4 verschieden

und jede positive Zahl hat eine 4.Wurzel, kommt also als Bild vor.

g ist aber z.B. nicht injektiv, weil g(1)=g(-1).

b)  Gegenbeispiel:

        Betrachte f:ℝ→ℝ und g:ℝ→ℝ  und f(x)=e^x und g(x)=x

c) stimmt.   h ◦h = id_A ⇒ h ist bijektiv.

h surjektiv: Sei x∈A .  Gesucht ist ein y∈A mit h(y)=x

Wähle y=h(x) , dann folgt h(y) = h(h(x)) = x .

h injektiv: Seien x,y ∈ A mit h(x) = h(y)

               ==>          h(h(x)) = h(h(y))

                       ==>   x=y .