Aloha :)
a) Injektivität heißt, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.
Um das zu zeigen, betrachtest du zwei gleiche Elemente aus der Zielmenge und folgerst daraus, dass beide denselben "Schützen" aus der Definitionsmenge haben.
Wir betrachten 2 gleiche Elemente aus der Zielmenge \(\mathbb Q\times\mathbb Q\):
$$g(x_1;y_1)=g(x_2;y_2)\implies\binom{x_1+y_1}{x_1+2y_1}=\binom{x_2+y_2}{x_2+2y_2}$$$$\phantom{g(x_1;y_1)=g(x_2;y_2)}\implies\binom{x_1+y_1}{(x_1+y_1)+y_1}=\binom{x_2+y_2}{(x_2+y_2)+y_2}$$
Wegen \((x_1+y_1)=(x_2+y_2)\) gilt:$$y_1+(x_1+y_1)=y_2+(x_2+y_2)=y_2+(x_1+y_1)\implies y_1=y_2$$$$x_1+y_1=x_2+y_2=x_2+y_1\implies x_1=x_2$$Es gilt also: \(\quad g(x_1;y_1)=g(x_2;y_2)\implies(x_1;y_1)=(x_2;y_2)\)
Die Funktion \(g\) ist injektiv.
b) Surjektivität heißt, dass jedes Element der Zielmenge min. 1-mal getroffen wird.
Um das zu zeigen, nimmst du dir ein beliebiges Element aus der Zielmenge und suchst den passenden "Schützen" aus der Definitionsmenge.
Sei \(g_0=\binom{g_x}{g_y}\in\mathbb Q\times\mathbb Q\) beliebig, aber fest gewählt. Dann soll gelten:$$g_0=\binom{g_x}{g_y}=\binom{x+y}{x+2y}\implies\binom{x}{y}=\binom{2g_x-g_y}{g_y-g_x}$$Wir haben also ein Element aus der Definitionsmenge gefunden, das auf unser frei gewähltes Element aus der Zielmenge abbildet.
Die Funktion \(g\) ist surjektiv.
c) Bijektivität heißt, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen wird.
Da die Funktion injektiv und surjektiv ist, ist sie auch bijektiv.
Die zweite Aufgabe solltest du jetzt alleine hinkriegen. Probier es mal. Und wenn du Fragen hast, bitte einfach nochmal hier melden.
