Bestimmen Sie die Lösungen dieses Gleichungssystems, falls

Question

Aufgabe:

Es sei das folgende lineare Gleichungssvstem
über dem Körper K gegeben:

x+y+z= 0

x-y-z=0

x+z=0

Bestimmen Sie die Lösungen dieses Gleichungssystems, falls

a) K= Q

b) K= F2

Text erkannt:

13:33
www.uni-muenster.de
Prof. Dr. Christopher Deninger
Dr. Dennis Wulle
Wintersemester 2023/24
Universität Münster
Lineare Algebra I
Übungsblatt 03

Aufgabe 1 Es seien $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Ferner sei $M \subset V$ eine Teilmenge von $V$,
a) (3 Punkte) Wie ist das Erzeugnis von $M$ definiert und wann ist $M$ ein Erzeugendensystem?
b) (3 Punkte) Wie ist Lineare Unabhängigkeit definiert? Was ist eine Basis von $V$ ?
c) (2 Punkte) Ist die folgende Aussage wahr?
$M$ ist genau dann ein $K$-Untervektorraum von $V$, wenn $\langle M\rangle=M$

Aufgabe 2
(a) Welche der folgenden Teilmengen des $\mathbb{R}^{3}$ sind linear abhängig über $\mathbb{R}$ ?
$\begin{aligned} M_{1} & =\left\{\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\right\}, \quad M_{2}=\left\{\left(\begin{array}{l} 3 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 3 \\ 6 \\ 2 \end{array}\right)\right\}, \\ M_{3} & =\left\{\left(\begin{array}{l} 3 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} e \\ 0 \\ \pi \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right)\right\}, \end{aligned}$
(b) Erzeugen die folgenden Vektoren den $\mathbb{Q}$-Vektorraum $\mathbb{Q}^{4}$ ?
$\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$

Aufgabe 3 Es sei das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper $K$ gegeben:
$\begin{aligned} x+y+z & =0 \\ x-y-z & =0 \\ x+z & =0 \end{aligned}$

Bestimmen Sie die Lösungen dieses Gleichungssystems, falls
a) $K=\mathbb{Q}$
b) $K=\mathbb{F}_{2}$
Prof. Dr. Christopher Deninger
Dr. Dennis Wulle
Wintersemester 2023/24
Universität Münster
Aufgabe 4 Es seien $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume und $\mathfrak{b}=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}$ eine Basis von $V$. Sei $\varphi: V \rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:
a) (3 Punkte) $\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn $\varphi\left(v_{1}\right), \ldots, \varphi\left(v_{n}\right) \in W$ linear unabhängig
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Comments

Bitte immer nur eine Aufgabe pro Frage. Bei welcher der drei Aufgaben hast Du Probleme ? Und wo genau hängst Du fest?

Tipp zu (3): addiere die ersten beiden Gleichungen und überlege, was dann $x$ sein kann, um die entstandenen Gleichung zu lösen; unter dem Aspekt, dass $x \in \mathbb{Q}$ bzw. $x \in \mathbb{F}_2$.