4x1 + 6x2 + 2x3 = λ
-x1 - 4x2 - 3x3 = -3
4x1 - 4x2 - 8x3 =λ
Für λ habe ich 12.
Nun, dann setze λ = 12 in das Gleichungssystem ein:
4x1 + 6x2 + 2x3 = 12
-x1 - 4x2 - 3x3 = -3
4x1 - 4x2 - 8x3 = 12
Nun subtrahiere die dritte Gleichung von der ersten. Du erhältst:
10x2 + 10x3 = 0
<=> x2 = - x3
Dieses Ergebnis schreibst du an die Stelle der ersten Gleichung und ersetzt in den beiden anderen Gleichungen jeweils x2 durch - x3:
x2 = - x3
-x1 + 4x3 - 3x3 = -3
4x1 + 4x3 - 8x3 = 12
Zusammenfassen:
x2 = - x3
-x1 + x3 = -3
4x1 - 4x3 = 12
Dritte Gleichung durch - 4 dividieren:
x2 = - x3
- x1 + x3 = -3
- x1 + x3 = - 3
Nun siehst du, dass die zweite und die dritte Zeile übereinstimmen! Das bedeutet, dass die dritte Gleichung keine Informationen beinhaltete, die nicht bereits durch die ersten beiden Gleichungen gegeben waren. Man kann sie daher einfach weglassen. Es verbleibt:
x2 = - x3
- x1 + x3 = - 3
Das ist nun ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit 3 Variablen. Ein solches Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Um alle Lösungen zu beschreiben, weist man einer der Variablen den Wert t zu, etwa
x1 = t.
Dann erhält man:
x2 = - x3
- t + x3 = - 3
Zweite Gleichung nach x3 auflösen:
x2 = - x3
x3 = t - 3
und in die erste Gleichung einsetzen:
x2 = 3 - t
Die Lösungen des ursprünglichen Gleichungssystems sind also:
x1 = t.
x2 = 3 - t
x3 = t - 3
mit einem beliebigen reellwertigen t.
Man kann dieses Ergebnis auch als Lösungsmenge angeben, z.B. so:
L = { ( x1 , x2 , x3 ) = ( t , 3 - t , t - 3 ) | t ∈ R }
Eines der Elemente der Lösungsmenge wäre z.B. ( t = 1) :
( x1 , x2 , x3 ) = ( 1 , 2 , - 2 )
Setze diese Werte zur Probe in das ursprüngliche Gleichungssystem ein und prüfe, ob alle Gleichungen wahre Aussagen ergeben. Dann ist diese Lösung korrekt.
Probiere auch andere Werte für t aus!
