Wie lauten für diese λ -Werte die Lösungen des linearen Gleichungssystems?

Question

Aufgabe:

i) Für welche Zahlen \( \lambda \in \mathrm{R} \) ist
\( \mathrm{P}(\lambda): \quad \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 2-\lambda & 1 & -1 \\ 1 & 1-\lambda & 0 \\ -1 & 0 & 1-\lambda \end{array}\right)=0 \quad ? \)

ii) Wie lauten für diese \( \lambda \) -Werte die Lösungen des linearen Gleichungssystems

\( \begin{aligned} 2 \mathrm{x}_{1}+& \mathrm{x}_{2} &-& \mathrm{x}_{3} &=& \lambda \cdot \mathrm{x}_{1} \\ \mathrm{x}_{1}+& \mathrm{x}_{2} & & &=& \lambda \cdot \mathrm{x}_{2} \\ -\mathrm{x}_{1} & &+& \mathrm{x}_{3} &=& \lambda \cdot \mathrm{x}_{3} \end{aligned} \)

Die erste Teilaufgabe habe ich hinbekommen und die Lösung der ersten Teilaufgabe benötigt man auch für die 2. Teilaufgabe, dass ist mir klar. Jedoch komme ich nicht auf die richtige Lösung. Danke.

Lösung für (i): λ ∈ { 0, 1, 3 }

Answer 1

i)

Determinante bilde ich mit der Regel von Sarrus

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus

DET([2 - k, 1, -1; 1, 1 - k, 0; -1, 0, 1 - k]) = - k^3 + 4·k^2 - 3·k = 0

k = 3 ∨ k = 1 ∨ k = 0

ii)

Eigenvektoren zum Eigenwert 0

2·x + y - z = 0
x + y = 0
z - x = 0

x = z ∧ y = -z

v = (z, -z, z)

Eigenvektoren zum Eigenwert 1

x + y - z = 0
x = 0
-x = 0

x = 0 ∧ y = z

v = (0, z, z)

Eigenvektoren zum Eigenwert 3

-x + y - z = 0
x - 2·y = 0
-x - 2·z = 0

x = - 2·z ∧ y = -z

v = (-2z, -z, z)

Comments

Also das hier muss rauskommen:

(ii) \( \left.\operatorname{Lg}(\mathrm{A}, \mathrm{b}) \quad=\quad \mathrm{L}\left(\left\{\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)\right\}\right), \quad \lambda=0 \)
\( \operatorname{Lg}(\mathrm{A}, \mathrm{b}) \quad=\quad \mathrm{L}\left(\left\{\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\right\}\right) \quad, \quad \lambda=1 \)
\( \operatorname{Lg}(\mathrm{A}, \mathrm{b}) \quad=\quad \mathrm{L}\left(\left\{\left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)\right\}\right), \quad \lambda=3 \)

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Ja. Das habe ich auch heraus. Ich habe in meinen Lösungen nur z stehenlassen. Für z kannst du jede beliebige Zahl stehen lassen. Für z=1 ergeben sich deine Lösungen.