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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir lösen zunächst das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus vollständig und beantworten danach die 4 zugehörigen Fragen. Beim Gauß-Algorithmus ist es unser Ziel, möglichst viele Spalten zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einer Zahl ungleich Null bestehen.
$$\begin{array}{rrrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Aktion}\\\hline0 & 0 & 1 & 4 & 10 &\\3 & -2 & 0 & -3 & -5 &+3\cdot\text{Zeile 2}\\-1 & 0 & 1 & 2 & 5 &\cdot(-1)\\\hline0 & 0 & 1 & 4 & 10 &\\0 & -2 & 3 & 3 & 10 &-3\cdot\text{Zeile 1} \\1 & 0 & -1 & -2 & -5 &+\text{Zeile 1}\\\hline0 & 0 & 1 & 4 & 10 &\\0 & -2 & 0 & -9 & -20 &\div(-2)\\1 & 0 & 0 & 2 & 5 &\\\hline0 & 0 & \pink1 & 4 & 10 &\Rightarrow \pink{x_3}+4x_4=10\\0 & \pink1 & 0 & 4,5 & 10 &\Rightarrow \pink{x_2}+4,5x_4=10\\\pink1 & 0 & 0 & 2 & 5 &\Rightarrow \pink{x_1}+2x_4=5\end{array}$$
Mehr als 3 Spalten mit lauter Nullen und genau einem Wert ungleich Null geht hier nicht.
Wir stellen die erhaltenen Gleichungen nach den pinken Variablen um:$$x_3=10-4x_4\quad;\quad x_2=10-4,5x_4\quad;\quad x_1=5-2x_4$$und können damit alle Lösungen des Gleichungssystems aufschreiben:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-2x_4\\10-4,5x_4\\10-4x_4\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\10\\10\\0\end{pmatrix}-\frac{x_4}{2}\cdot\begin{pmatrix}4\\9\\8\\-2\end{pmatrix}$$
Für die Kosmetik überlegen wir uns noch, dass wir \(x_4\in\mathbb R\) beliebig wählen dürfen. Also können wir auch jeden beliebigen Wert für \((-\frac{x_4}{2})\) wählen. Das heißt wir können in der Lösung \((-\frac{x_4}{2})\) durch eine beliebige reele Zahl \(s\) ersetzen:$$\vec x=\begin{pmatrix}5\\10\\10\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}4\\9\\8\\-2\end{pmatrix}\quad;\quad s\in\mathbb R$$
Damit kannst du nun alle Fragen beantworten:
zu i) Wähle als Lösung \(\vec x=(5;10;10;0)^T\).
zu ii) Für das homogene System wird der Ankerpunkt \((5;10;10;0)^T\) aus unser Lösung durch den Nullvektor ersetzt. Übrig bleibt nur der Richtungsvektor mit einem frei wählbaren Parameter \(s\). Also ist die Dimension des homogenen Lösungsraums \(L_0\) gleich \(1\).
zu iii) Der Richtungsvektor unserer Lösung ist eine Basis von \(L_0\).
zu iv) Schreibe unsere Lösung als Menge:$$L=\left\{\vec x\in\mathbb R^4\left|\vec x=\begin{pmatrix}5\\10\\10\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\9\\8\\-2\end{pmatrix}\;;\;s\in\mathbb R\right.\right\}$$
