Bestimmen Sie die Lösungsmenge L=\left\{x ∈ ℝ4: A x=b\right\} des linearen Gleichungssystems A x=b mithilfe des …

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Seien
$A=\left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 1 & 4 \\ 3 & -2 & 0 & -3 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 4}, b=\left(\begin{array}{r} 10 \\ -5 \\ 5 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 1} \text {, und schreibe } x=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right) .$

Bestimmen Sie die Lösungsmenge $L=\left\{x \in \mathbb{R}^{4}: A x=b\right\}$ des linearen Gleichungssystems $A x=b$ mithilfe des Gauss-Algorithmus. Geben Sie dabei explizit an:
(i) eine konkrete Lösung $\tilde{x} \in \mathbb{R}^{4}$ des linearen Gleichungssystems $A x=b$;
(ii) die Dimension vom Lösungsraum $L_{0}$ des homogenen Gleichungssystems $A x=0$;
(iii) eine Basis von $L_{0}$; und
(iv) die Menge $L$.

Also ich sitze gerade an i und mein Ansatz war die erweiterte Koeffizienten Matrix für Ab zu erstellen, aber ich komm auf kein richtiges Ergebnis und ebenso verweiit mich, dass x aus 4 Variablen besteht

zu den anderen Aufgaben hab ich noch keinen Ansatz

Comments

Es wäre hilfreich, wenn du deine Rechnung mitlieferst. Auf Zeilenstufenform kannst du die Matrix dennoch bringen, da spielt die Zahl der Variablen erst einmal keine Rolle. Die Umformungen sind immer von derselben Struktur.

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weiß nicht wie ich mein ipad hiermit verbinden kann, aber ich weiß nicht wirklich wie eine zeilenstufenform aussehen soll, da die matrix ja nicht quadratisch ist

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Zweite Zeile eine Null, dritte Zeile zwei Nullen... zum Beispiel.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir lösen zunächst das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus vollständig und beantworten danach die 4 zugehörigen Fragen. Beim Gauß-Algorithmus ist es unser Ziel, möglichst viele Spalten zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einer Zahl ungleich Null bestehen.

$$\begin{array}{rrrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Aktion}\\\hline0 & 0 & 1 & 4 & 10 &\\3 & -2 & 0 & -3 & -5 &+3\cdot\text{Zeile 2}\\-1 & 0 & 1 & 2 & 5 &\cdot(-1)\\\hline0 & 0 & 1 & 4 & 10 &\\0 & -2 & 3 & 3 & 10 &-3\cdot\text{Zeile 1} \\1 & 0 & -1 & -2 & -5 &+\text{Zeile 1}\\\hline0 & 0 & 1 & 4 & 10 &\\0 & -2 & 0 & -9 & -20 &\div(-2)\\1 & 0 & 0 & 2 & 5 &\\\hline0 & 0 & \pink1 & 4 & 10 &\Rightarrow \pink{x_3}+4x_4=10\\0 & \pink1 & 0 & 4,5 & 10 &\Rightarrow \pink{x_2}+4,5x_4=10\\\pink1 & 0 & 0 & 2 & 5 &\Rightarrow \pink{x_1}+2x_4=5\end{array}$$

Mehr als 3 Spalten mit lauter Nullen und genau einem Wert ungleich Null geht hier nicht.

Wir stellen die erhaltenen Gleichungen nach den pinken Variablen um:$$x_3=10-4x_4\quad;\quad x_2=10-4,5x_4\quad;\quad x_1=5-2x_4$$und können damit alle Lösungen des Gleichungssystems aufschreiben:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-2x_4\\10-4,5x_4\\10-4x_4\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\10\\10\\0\end{pmatrix}-\frac{x_4}{2}\cdot\begin{pmatrix}4\\9\\8\\-2\end{pmatrix}$$

Für die Kosmetik überlegen wir uns noch, dass wir $x_4\in\mathbb R$ beliebig wählen dürfen. Also können wir auch jeden beliebigen Wert für $(-\frac{x_4}{2})$ wählen. Das heißt wir können in der Lösung $(-\frac{x_4}{2})$ durch eine beliebige reele Zahl $s$ ersetzen:$$\vec x=\begin{pmatrix}5\\10\\10\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}4\\9\\8\\-2\end{pmatrix}\quad;\quad s\in\mathbb R$$

Damit kannst du nun alle Fragen beantworten:

zu i) Wähle als Lösung $\vec x=(5;10;10;0)^T$.

zu ii) Für das homogene System wird der Ankerpunkt $(5;10;10;0)^T$ aus unser Lösung durch den Nullvektor ersetzt. Übrig bleibt nur der Richtungsvektor mit einem frei wählbaren Parameter $s$. Also ist die Dimension des homogenen Lösungsraums $L_0$ gleich $1$.

zu iii) Der Richtungsvektor unserer Lösung ist eine Basis von $L_0$.

zu iv) Schreibe unsere Lösung als Menge:$$L=\left\{\vec x\in\mathbb R^4\left|\vec x=\begin{pmatrix}5\\10\\10\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\9\\8\\-2\end{pmatrix}\;;\;s\in\mathbb R\right.\right\}$$

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hey, wollte fragen, ob man sie privat irgendwie erreichen kann?

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Weil solche Anfragen häufiger kommen, habe ich gerade mal einen Knopf "Für Nachhilfe buchen" eingerichtet. Wenn du dort draufklickst, kannst du mir eine E-Mail schreiben...

Answer 2

Hallo

wenn du 3 Gleichungen für 4 Unbekannte hast, kannst du eine beliebig wählen z.B. x4=r die anderen hängenden dann  von r ab.

Deshalb ist ja auch nach der Lösungsmenge gefragt, nicht nach der Lösung.

(Wenn du die Zeilen umordnest hast du ja schon die 2 Nullen in der dritten )

Gruß lul

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dankeschönnn