Bestimmen Sie in Abhängigkeit von t ∈ ℝ alle Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 4
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \( t \in \mathbb{R} \) alle Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:
\( \left(\begin{array}{ccc} t-2 & -1 & 1 \\ -3 t+6 & t & -7 \\ 2 t-4 & -2 t+4 & 2 t+6 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -4 \\ -1 \end{array}\right) \)
(Hinweis: Stellen Sie zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix auf und wenden auf diese den Gauß-Algorithmus an.)

Kann mir jemand beim Lösen helfen?

Comments

Wobei genau brauchst Du Hilfe? Folge erstmal dem Hinweis und lass sehen, wie weit Du kommst.

Answer 1

[t - 2, -1, 1, 2]
[6 - 3·t, t, -7, -4]
[2·t - 4, 4 - 2·t, 6 + 2·t, -1]

II + 3*I ; III - 2*I

[t - 2, -1, 1, 2]
[0, t - 3, -4, 2]
[0, 6 - 2·t, 2·t + 4, -5]

III + 2*II

[t - 2, -1, 1, 2]
[0, t - 3, -4, 2]
[0, 0, 2·t - 4, -1]

Jetzt hast du die Zeilenstufenform und kannst das ganze in Abhängigkeit von t auflösen.

(2·t - 4)·z = -1 --> z = 1/(4 - 2·t) für t ≠ 2

(t - 3)·y + (-4)·(1/(4 - 2·t)) = 2 --> y = 2/(t - 2)

(t - 2)·x + (-1)·(2/(t - 2)) + (1)·(1/(4 - 2·t)) = 2 --> x = (4·t - 3)/(2·(t - 2)^2)

Comments

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(t\in\R\) alle Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

Sind das tatsächlich alle Lösungen?

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Danke für den Hinweis. Ich sehe jetzt auch das für t = 3 die II Gleichung immer erfüllt ist und y damit frei wählbar ist. Dann ist

(2·3 - 4)·z = -1 --> z = -0.5

y frei wählbar

(3 - 2)·x + (-1)·(y) + (1)·(-0.5) = 2 --> x = y + 2.5