Aufgabe:
Welchen Grenzwert hat die Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{4^{n}+2}{5^{n}} ? \) Hinweis: Trennen Sie gerade und ungerade Indizes und verwenden Sie anschließend die Potenzgesetze.
Mein Vorschlag:
Wenn man die ersten 4 Zahlen für n einsetzt, dann erhaltet man folgende Werte für:
n=0⇒nicht definiert (3/0)
n=1⇒-1,2
n=2⇒1,8
n=3⇒-4,4
n=4⇒12,9
Also, alternierend. Nun trennt man gerade und ungerade Indizes:
Für gerade Indizes gilt: 2n
Für ungerade Indizes gilt: 2n-n
$$\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ ({ -1) }^{ 2n } } \frac { { 4 }^{ n }+2 }{ { 5 }^{ n } } +\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ ({ -1) }^{ 2n-n } } \frac { { 4 }^{ n }+2 }{ { 5 }^{ n } } \\ \underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ ({ -1) }^{ 2n } } \frac { { 4 }^{ n }+2 }{ { 5 }^{ n } } =+\infty \\ \underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ ({ -1) }^{ 2n-n } } \frac { { 4 }^{ n }+2 }{ { 5 }^{ n } } =-\infty $$
Sind die Grenzwerte richtig?
Beste Grüße,
Asterix
