Berechne den Grenzwert der Reihe

Question

Aufgabe:

Berechne den Grenzwert der Reihe von

a)

\(\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{5 k}{3^{k}} \)

b)

\(\displaystyle \sum \limits_{i=0}^{\infty} \frac{i^{2}}{2^{i}} \)

Problem/Ansatz:

Ich wäre bei a) wie folgt vorgegangen: 5k* Summe 1/3^k => 5k* 1,5, Endergebnis wäre jedoch 15/4. Auch bei b unsicher, wie man das lösen kann. Handelt es sich um eine geometrische Reihe? Und wie löse ich das dann?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Zu a): Du kannst die 5k natürlich nicht aus der Summe ziehen, weil der Faktor noch vom Laufindex anhängt. Bei derartigen Reihen gibt es aber einen Trick:

Für die geometrische Reihe gilt \(\sum_{k=0}^{\infty}x^k = \frac{1}{1-x}\). Dann gilt (aufgrund der Konvergenz geht das) für die Ableitung der geometrischen Reihe \(\sum_{k=0}^{\infty}kx^{k-1}=(\sum_{k=0}^{\infty}x^k)' = (\frac{1}{1-x})'=\frac{1}{(1-x)^2}\).

Nun ist \(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{5k}{3^k}=5\sum_{k=0}^{\infty}k\left(\frac{1}{3}\right)^k=\frac{5}{3}\sum_{k=0}^{\infty}k\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}=\ldots\)

Zu b): Das kann man ähnlich wie a) machen, allerdings mit der zweiten Ableitung der geometrischen Reihe, da wir den Faktor \(i^2\) haben. Du musst die Reihe also so umformen, dass du am Ende auf einen Ausdruck der Form \(\sum_{i=0}^{\infty}i(i-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{i-2}\) kommst (das ist die zweite Ableitung).

Kontrollergebnis ist 6.

Comments

Danke, die Regel kannte ich nicht. Wieso verändert sich die 5 zu 5/3?

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Du musst einen Faktor zusätzlich aus die Summe ziehen, weil du in der Summe den Exponenten \( k-1 \) brauchst wegen der Ableitung.

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Bei derartigen Reihen gibt es aber einen Trick:

Und wenn man den Trick nicht kennt? Woher soll oder muss man ihn kennen?

Gibt es einen anderen Weg?

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Das ist gar kein Trick, sondern eine Methode.

Eine andere Methode wäre die Anwendung der Cauchy-Faltung oder etwa für die erste Summe das zeilenweise Aufschreiben und spaltenweise Summieren :

∑ k*q^k = q + q^2 + q^2 + q^3 + q^3 + q^3 + q^4 + q^4 + q^4 + q^4 + q^5 + ...
= (q + q^2 + q^3 + q^4 + ...) + (q^2 + q^3 + q^4 + ...) + (q^3 + q^4 + ...) + (q^5 + ...) + ...
= q * 1/(1-q)  +  q^2 * 1/(1-q)  +  q^3 * 1/(1-q)  +  q^4 * 1/(1-q)  +  ...
= (q+q^2+q^3+q^4+...)*1/(1-q) = q/(1-q)^2