Berechne den Grenzwert der Reihe in der Form x+i y ∈ ℂ

Question

Aufgabe:

Berechne den Grenzwert der folgenden Reihe in der Form \( x+i y \in \mathbb{C} \)
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}(1+i)^{k+1}}{2^{k}} . \)

Answer 1

\(\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}(1+i)^{k+1}}{2^{k}}  \)

\(  =(1+i) \cdot  \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}(1+i)^{k}}{2^{k}} \)

\(  =(1+i) \cdot \sum \limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{-1-i}{2} ) ^k\)

\(  =(1+i) \cdot \frac{-1-i}{2} \cdot \sum \limits_{k=0}^{\infty} ( \frac{-1-i}{2} ) ^k\)

Die Summe ist nun eine geometrische Reihe mit \( q= \frac{-1-i}{2} \), also

\(  =(1+i) \cdot \frac{-1-i}{2} \cdot \frac{1}{ 1-\frac{-1-i}{2} } = -\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i\)