Sei z ∈ ℂ mit |z| < 1. Berechnen Sie ∑∞k=1 k·z^k und ∑∞k=1 k^2·z^k

Question

Aufgabe:

Sei z ∈ ℂ mit |z| < 1. Berechnen Sie ∑^∞_k=1 k·z^k und ∑^∞_k=1 k²·z^k

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man sowas?

Answer 1

Hallo

du kennst die geometrische Reihe für \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{z^n} \)=...

differenziere die rechte und linke Seite nach z,

Dann für die zweite Summe noch mal, achte auf den Anfang der Reihe!

Gruß lul

Comments

Ich verstehe die Antwort nicht ganz.

Nach der geometrischen Reihe steht für die Reihe mit z^k:
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{z^k} \) = 1/(1-z)

differenziere die rechte und linke Seite nach z

Wie funktioniert das?

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Meinst du vielleicht ∑ z = √(1/(1-z)) ? Ich wüsste aber nicht wie das weiterhelfen sollte

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Ich glaube ich habe endlich verstanden was du meinst:

∑^∞_k=1 k · z^k = z d/dz  ∑^∞_k=1 z^k = z d/dz 1/(1-z) = z/(1-z)²

Das müsste eigentlich so stimmen.

Weißt du aber, wie man das auch ohne Ableitung lösen kann? Zum Beispiel mit Cauchy Produkten?

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Hallo

nein, das löst man immer mit den Ableitungen, hier werden ja keine summen multipliziert?

lul

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Sorry ich meine ∑^∞_k=1 k·z^k · ∑^∞_k=1 k²·z^k

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Hallo

auch da seh ich keine Anwendung des Cauchyprodukts, wenn du das Ergebnis der Einzelsummen schon hast. Aber es bebt dir unbenommen, das zu versuchen.

lul