Bestimme Menge aller z ∈ ℂ, für welche die folgende Reihe konvergiert

Question

Aufgabe:

Bestimme die Menge aller z ∈ ℂ, für welche die folgende Reihe konvergiert:

\(\sum \limits_{k=0}^{\infty}k!z^{k}\)

Problem/Ansatz:

Hab leider gar kein Ansatz, wie ich das lösen soll.
Bin über jede Hilfe dankbar, ob es die Lösung mit Erklärung ist oder auch nur ein Ansatz.

Comments

Du hast doch sicher schonmal was vom Quotientekriterium für Potenzreihen gehört. Anwenden und fertig.

Answer 1

Wir benutzen die Quotientenformel für den Konvergenzradius \(r\):

$$r =\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{a_{k+1}} \text{ wobei } a_k =k!$$

Also

$$\frac{a_k}{a_{k+1}}= \frac{k!}{(k+1)!} = \frac 1{k+1}\stackrel{k\to\infty}{\longrightarrow}0 = r$$.

Der Konvergenzradius ist also 0. Damit konvergiert die Potenzreihe nur für \(z=0\).

Comments

Ich dachte beim Quotientenkriterium ist das k+1 oben und nicht unten oder habe ich da was falsch verstanden ?

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Beim Berechnen des Konvergenzradius einer Potenzreihe dreht sich das um.

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Danke, ich habe es nun etwas besser verstanden.
Müssen wir den Konvergenzradius nicht bestimmen, weil r = 0 ist ?

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Wir haben den Konvergenzradius bestimmt. Er is gleich Null. Die Reihe konvergiert nur für \(z=0\).

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Achso habe es glaube verstanden. Da x₀= 0 und r = 0 ist, muss auch z = 0 sein, weil der Bereich von z = (0,0) geht?

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Da wir hier die Reihe in \(\mathbb{C}\) betrachten, wird die Variable oft mit \(z\) bezeichnet. Bei komplexen Potenzreihen bezeichnet man daher den Entwicklungspunkt mit \(z_0\) statt mit \(x_0\).

Bei deiner Reihe ist der Entwicklungspunkt \(z_0=0\).

Wenn der Konvergenzradius Null ist, ist der Entwicklungspunkt - hier \(z_0 = 0\) - die einzige Zahl, die wir in die Potenzreihe einsetzen können, so dass sie konvergent ist.

Für jede andere eingesetzte Zahl divergiert die Reihe. Das ist die Bedeutung eines Konvergenzradius von 0.

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Danke für die ausführliche Erklärung. Das ist einleuchtend

Answer 2

Die Folge konvergiert für alle z ∈ ℂ, für die |z| < 1/e gilt.

Dies lässt sich mithilfe des Ratio-Tests beweisen:

Wir betrachten die Quotientenreihe

\( \left[q_{k}=\frac{(k+1) !}{k !} \cdot z^{k+1}=(k+1) z^{k+1}\right] \)

Für |z| < 1/e gilt |kz| < 1/e für alle k, da |z| < 1/e < 1 für alle k.

Daher ist:

\( \left|q_{k}\right|=|k+1||z|^{k+1}<\left(\frac{1}{e}\right)^{k+1} \) und der Ratio-Test liefert:

Die folge Konvergiert.

Dies bedeutet, dass die Quotientenreihe :

\( q_{k}=(k+1) z^{k+1} \)

für jedes k unendlich klein wird, wenn |z| < 1/e gilt. Dies bedeutet, dass die Folge kleiner wird als jede gegebene Zahl, wenn k groß genug ist. Eine solche Folge konvergiert immer.

Comments

Die Reihe konvergiert nur für \(z=0\).