Aloha :)
Wenn man die Idee hinter solchen Summen nicht kennt, kommt man da vermutlich nur sehr schwer drauf. Daher machen wir das mal ausführlich gemeinsam...
Zunächst wählen wir als obere Grenze nicht \(\infty\), sondern \(N\). Wir werden dann später den Grenzwert \((N\to\infty)\) bilden. Sei also:$$S_N\coloneqq\sum\limits_{n=1}^N\frac{n+1}{n^2\cdot(n+2)^2}$$
Im Nenner stehen zwei Faktoren, \(n^2\) und \((n+2)^2\). Die Idee ist, den Zähler(!) mit Hilfe dieser beiden Terme umzuschreiben. Meistens sind die Aufgaben so konstruiert, dass man dafür die beiden Nenner-Faktoren einfach nur zu subtrahieren braucht:$$(n+2)^2-n^2=(n^2+4n+4)-n^2=4n+4=4(n+1)$$Das hat geklappt. Der Faktor \(4\) tut uns nicht weh, den bauen wir einfach in die Summe ein, indem wir den Vorfaktor \(\frac14\) vor die Summe scheiben:$$S_N=\frac14\sum\limits_{n=1}^N\frac{4(n+1)}{n^2\cdot(n+2)^2}=\frac14\sum\limits_{n=1}^N\frac{(n+2)^2-n^2}{n^2\cdot(n+2)^2}$$Jetzt können wir den Bruch in zwei Brüche zerlegen und diese anschleßend kürzen:$$S_N=\frac14\sum\limits_{n=1}^N\left(\frac{(n+2)^2}{n^2\cdot(n+2)^2}-\frac{n^2}{n^2\cdot(n+2)^2}\right)=\frac14\sum\limits_{n=1}^N\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+2)^2}\right)$$
Jetzt spalten wir die Summe auf und führen eine Indexverschiebung durch:$$S_N=\frac14\left(\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2}-\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{(n+2)^2}\right)=\frac14\left(\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2}-\sum\limits_{n=3}^{N+2}\frac{1}{n^2}\right)$$
Die beiden Summen sind nun sehr ähnlich. Die Summanden sind gleich, nur die Summationsgrenzen sind verschieden. Das können wir ändern:$$S_N=\frac14\left(\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\sum\limits_{n=3}^N\frac{1}{n^2}\right)-\left(\sum\limits_{n=3}^N\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(N+1)^2}+\frac{1}{(N+2)^2}\right)\right)$$
Nun heben sich die verbliebenen Summen gegenseitig weg:$$S_N=\frac14\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{(N+1)^2}-\frac{1}{(N+2)^2}\right)$$
Wenn wir nun den Grenzwert \((N\to\infty)\) bilden, konvergieren die beiden letzten Brüche gegen \(0\). Damit haben wir nicht nur gezeigt, dass die Reihe konvergiert, sondern auch den Grenzwert bestimmt:$$S_\infty=\frac14\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}\right)=\frac14\cdot\left(1+\frac14\right)=\frac14\cdot\frac54=\frac{5}{16}$$
