Betrachten Sie die komplexe Zahl c. Schreiben sie für 0<=j<=8 c^j in der Form x+iy

Question

Also ich weiß, bzw. bin mir ziemlich sicher, dass bei ζ^j immer wieder ζ rauskommt (richtig?) Wie soll aber die Folgerung jetzt genau aussehen?  Soll ich als letztes dann zeigen das bei beiden Gleichungen, nach umformen 0 rauskommt?
LG Denise

Comments

Oder läuft das mit dem potenzieren durch das i hier anders? 

(Ist das erste mal das ich mit komplexen zahlen rechne)

Answer 1

dass bei ζ^j immer wieder ζ rauskomm      falsch  !!!

z^2 = 0 + i

z^3 = -1/2 *√2   + i*1/2 *√2    etc.

bis z^8 = 1 

Dann wiederholen sich die Werte erst.

Comments

wie geht denn die rechnung? :/

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z = 1/2 *√2   + i*1/2 *√2 

dann ist

z^2 = ( 1/2 *√2   + i*1/2 *√2 )^2    bin. Formel.

       = ( 1/2 *√2 )^2  + 2 * 1/2 *√2 * i*1/2 *√2   + ( i*1/2 *√2 )^2

      = 1/4 * 2  +  √2 * i*1/2 *√2    + 1^2 *1/4 * 2

       = 1/4 * 2  +   i*1/2 *2     + (-1) *1/4 * 2    denn i^2 = -1

       = 1/2   +   i      -   1/2

        = i

und dann z^3 = z^2 * z

= i * ( 1/2 *√2   + i*1/2 *√2 )

= i * 1/2 *√2   + (-1)*1/2 *√2

dann

z^4 = z^3 * z    etc.

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ist folgendes richtig?

denn meine werte wiederholen sich schon ab z⁴ ...

z⁰= 1

z¹= z = 1/2 *√2   + i*1/2 *√2 

z²=  i

z³=  i * 1/2 *√2   + (-1)*1/2 *√2 

z⁴ = 1

z⁵= 1/2 *√2   + i*1/2 *√2 

z⁶= i

z⁷= i * 1/2 *√2   + (-1)*1/2 *√2 

z⁸= 1

Und wie mache ich ab hier dann weiter?

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bei z^4 bekomme ich nicht 1 sondern -1 .

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und der rest ist soweit ok, oder ist was anderes außer vielleicht ein vorzeichen falsch?

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dann ist nat. auch z^5 etc. mit falschem Vorzeichen.

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okay habe das jetzt alles korrigiert. wie geht es denn dann weiter?

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würd mich interessieren wie es weiter geht ...


wie bekommt man denn da dann den Grad eingebaut ? 

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Betrachte den "Hinweis":  Das Produkt hat 8 ( von 0 bis 7 ) Faktoren

von der Form  ( t - ???). Wenn man die ausmultipliziert gibt das was mit t^8.

Und wenn man nun t^8 - 1 - Produkt...    bildet, bleibt ein Polynom vom Grad ≤7;

denn die beiden Teile mit t^8 heben sich ja weg.

Andererseits sind alle ζ^j Nullstellen.   Denn in dem Produkt ist ja

mindestens ein Faktor =0 und vor dem Produkt steht t^8 - 1

und wenn du dort ζ^j   einsetzt, hast du

  ( ζ^j )^8 - 1  =    ( ζ⁸ )^j - 1 = 1^j - 1 = 0 also auch 0 und

damit hat das im Hinweis angegebene Polynom grad≤7 und mind. 8 Nullstellen,

also ist es das Nullpolynom und damit die 1. Gleichung bewiesen.