Komplexe Zahl in der Form x+iy darstellen

Question

Aufgabe:

Stellen Sie folgende komplexe Zahl in der Form \( x+i y \) mit \( x, y \in \mathbb{R} \) dar:

\( \left(\frac{-1-i \sqrt{3}}{2}\right)^{3} \)

Bestimmen Sie auch den Betrag dieser komplexen Zahl.

Problem/Ansatz:

Kann jemand kontrollieren, ob meine Lösung passt?

\( \left(\frac{-1-i \sqrt{3}}{2}\right) \)

\( x+i y: \)

(1) \( =\left(\frac{-1-i \sqrt{3}}{2}\right)^{3} \)

(2) \( =\left(\frac{-1-5.196 . . i}{8}\right)^{3} \)

(3) \( =-\frac{1}{8}-\frac{(\sqrt{3})^{3}}{8} i \)

Betrag:

\( \begin{aligned} \left|-\frac{1}{8}-\frac{(\sqrt{3})^{3}}{8} i\right|=\sqrt{\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}+\left(\frac{(\sqrt{3})^{3}}{8}\right)^{2}} &=\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}+\left(\frac{(\sqrt{3})^{3}}{8}\right)^{2} \\ &=\frac{1}{64}+\frac{27}{64}=\frac{28}{64} \end{aligned} \)

Answer 1

Dein Ergebnis ist falsch. Ein Term der Form (a+b)³ ergibt umgeformt a³+3a²b+3ab²+b³.

(\( \frac{-1}{2} -\frac{i\sqrt{3}}{2}\)) ist übrigens 1*(cos 240° + i sin 240°).

Das lässt sich wesentlich leichter potenzieren.

Comments

Vielen Dank, aber diese Formel ist mir irgendwie noch nicht wirklich bekannt... Also 1*(cos 240° + i sin 240°) meine ich hier, die binomische Formel kenne ich natürlich.

Answer 2

Ich habe: \((\frac{-1-i\sqrt{3}}{2})^3=1\), was auch mit einer Skizze übereinstimmt.

Ich denke, dass du dich verrechnet hast.

Es handelt sich um die dritte Potenz einer primitiven 3-ten Einheitswurzel.

Comments

Oh, vielen Dank.

Aber ich verstehe leider nicht ganz wie ich den oberen Teil, also den Zähler hier am Besten potenzieren kann....

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\((\frac{-1-i\sqrt{3}}{2})^3=-\frac{1}{8}(1+i\sqrt{3})^3=\)

\(=-\frac{1}{8}(-2+2i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3})=\frac{1}{4}(1-i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3})=\)

\(=\frac{1}{4}(1^2+(\sqrt{3})^2)=1\).

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Dankeschön für die ausführlichen Schritte. :-)

Wenn ich noch ganz kurz lästig sein darf:

Wie kommt man auf ...(-2 + 2i*sqrt(3))..., hat das eventuell was mit den Potenzgesetzen zu tun?

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\((1+i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3})=1^2+2i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})^2=1+2i\sqrt{3}-3\)