Form x+iy von 1/i^n darstellen

Question

Aufgabe:
Die Aufgabe ist es, 1/(i^n) in der Form x+iy darzustellen.

Ansatz,

Ich definiere n=4k+B ;  B={0,1,2,3}

Mir ist bewusst, dass

B=0; = 1

B=1 =-i

B=2 =-1

B=3; = i

Und ab dann wiederholt es sich.

Die Frage ist kann ich das noch irgendwiewie anders angeben als mit einem Modulo?

Das es wirklich die Form x+iy hat?

:)

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{1}{i^n}=\left(\frac{1}{i}\right)^n=\left(\frac{1}{e^{i\pi/2}}\right)^n=\left(e^{-i\pi/2}\right)^n=e^{-in\pi/2}=\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)-i\cdot\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$$

Comments

Wow xD das sieht genau so aus wie ich es meinte jedoch verstehe ich nur Bahnhof xD

Hast du da noch eine ausführlichere Version die ich nachvollziehenehen könnte?^^

---

Es gilt die Euler-Identität: \(e^{\pm i\varphi}=\cos\varphi\pm i\cdot\sin\varphi\)

Daher ist \(i=0+i=\cos(\pi/2)+i\cdot\sin(\pi/2)=e^{i\pi/2}\)

und \(e^{-in\pi/2}=\cos(n\pi/2)-i\cdot\sin(n\pi/2)\)

Answer 2

Erweitere geeignet:

1/i = i/i²=-i= 0 + (-1)i

1/i²=1/-1=-1+0i

1/i³=i/i⁴=i=0+1i

1/i⁴=1/1=1+0i

1/i5=1/i⁴*1/i=1/i= s.o.

1/iⁿ=1/i^4k+m=1/i^m  , n=4k+m, k∈ℤ, m=0,1,2,3, Ergebnisse s.o.

Comments

Dank dir hättest du für:

Auch noch ne Lösung? Komme da Leider auch nicht mehr weiter :/

---

Stelle es als Aufgabe! Ich bin neu hier, ich brauch Punkte.