Wendepunkte ohne f'''(x)? Newtonverfahren oder durch Vorzeichenwechsel?

Question

\( \frac{-2 \cos (x) x-\sin (x) x^{2}+2 \sin (x)}{x^{3}} \) 

Als Bild ist hier die zweite Ableitung von f(x) = 1/x*sin(x) zu sehen.

Wie kann ich die Wendestellen berechnen? Ich weiß nicht wie ich diese Funktion = null setzen kann daraufhin zu einem Ergebnis zu kommen. (Mit Hilfe von Vorzeichenwechsel und Wertetabelle). Laut Graphen ist der erste Wendepunkt bei x=2,1 zu finden.

Muss ich das Newtonverfahren anwenden? x_n+1=x_n- f'(x_n)/f''(x_n) (Im Nenner muss die Ableitung stehen, von der die Nullstelle berechnet werden soll, habe ich gelesen).

Oder komme ich um die dritte Ableitung nicht herum? (Kann sie zwar mit einem Onlinerechner nutzen, aber selbst diese so zusammenzufassen, dass diese mit Ergebnissen aus Onlinerechnern übereinstimmen, schaffe ich nicht.

Comments

Hallo lehas,

  die Berechnung zu Fuß durchzuführen habe ich nicht versucht.

  Berechnungsweg : die 2.Ableitung muß 0 sein. In deiner Rechnung hast du fälschlicherweise die 1.Ableitung mit der 2.Ableitung verwendet. Richtig wäre

  x(n+1) = x(n) - f´´(x_n)/f´´´(x_n)

  Also die 2.Ableitung mit der 3.Ableitung.

  Mein MuPad-CAS Programm liefert als Ergebnis 2.0816

  mfg Georg

  Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

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Das Problem ist, dass ich ja dann die dritte Ableitung benötige, die ich aber nur mit Hilfe von einem CAS oder online Rechner kriege.

\( U=-2 \cos (x) x-\sin (x) x^{2}+2 \sin (x) \)
\( U^{\prime}=2 \cos (x) \sin (x)-\cos (x) x^{2}-2 \cos (x)-2 \sin (x) x-\sin (x) \)
\( V=x^{3} \)
\( V^{\prime}=3 x^{2} \)

Dies müsste ich nur noch zusammenfügen mit der Quotientenregel aber mein U ist wahrscheinlich falsch.

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Dein U' ist falsch:

U'= 2sin(x)*x-2cos(x)-cos(x)x^2-2x sin(x)+2cos(x)

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Hallo lehas,

  in welchem Zusammenhang ist die Aufgabe zu sehen. ist es eine Hausaufgabe die du machen mußt ?

  Die dritte Ableitung würde ich zu Fuß auch noch hinbekommen, aber dann kämen ja noch die ganzen Berechnungen des Newton-Verfahrens.

  Mir genügt es wenn ich die Lösung ent wickelt habe und ein CAS Programm  mir das Ergebnis berechnet hat.
mfg Georg

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Habe nun doch noch die dritte Ableitung berechnet. Dies ist ein kleiner Teil meiner mündlichen Abi Aufgabe und daher sollte ich die Ableitung nachvollziehen können. Ich frag mich grad wie ich dir einen Punkt geben für deine Antworten.

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Damit Lehas Georgborn einen Punkt geben kann, muss Georgborn die Antworten erst in einer 'Antwort' zusammenkopieren. Kommentare kann man nicht mit Punkten belohnen.

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Hallo lehas, hallo Lu,

  vielen Dank an lehas mir einen Punkt für meine Antworten geben zu wollen.

  Ich bin seit 1 Monat hier im Forum. (* Scherzmodus an : Leider schwanken meine Antworten ( auch für mich selbst ) zu stark zwischen Weltklasse und Kreisklasse Scherzmodus aus *)

  Ich beschäftige mich mit der Beantwortung der Fragen aus den verschiedenen Gebieten um meine eigenen Kenntnisse zu verbessern. In den Medallienspiegel habe ich im 1.Monat noch reingeschaut, will dies jetzt aber nicht mehr machen.

  mfg Georg

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@ georgborn: Es wäre dennoch wünschenwert, wenn diese Frage aus den offenen Fragen verschwindet, vorausgesetzt  Lehas ist damit zufrieden und wartet nicht mehr auf weitere Ausführungen…

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@Lu

Einverstanden. Muß ich noch etwas machen ?

mfg Georg

Answer 1

Zunächst mal wird ein Bruch Null wenn nur der Nenner null wird. Man braucht also nur den Zähler null setzen.

2 * x * cos(x) + (x^2 - 2) * sin(x) = 0

Hier findet man nur über ein numerisches verfahren Lösungen. Dazu kann man Näherungsverfahren verwenden. Z.B. das Newtonverfahren aber auch eine einfache Intervallschachtelung. Je nachdem wie genau die Nullstellen sein sollen.

Wolframalpha rechnet die genau aus.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*x*cos%28x%29%2B%28x%5E2-2%29*sin%28x%29%3D0

Wenn man auf die nächste Ableitung verzichten will prüft man hier das Verhalten der 2. Ableitung.

Ansonsten liefert die nächste Ableitung

f'''(x) = - (x·(x^2 - 6)·cos(x) + 3·(2 - x^2)·sin(x)) / x^4