Sind {u,v} , {v,w} , {w,u} linear unabhängig so sind u,v,w auch l.u

Question

V ein K-Verktorraum und gegeben u,v,w ∈ V
und die Aussage: Sind {u,v} , {v,w} , {w,u} linear unabhängig so sind u,v,w auch linear unabhängig

Mein Tutor meinte, dass dies eine falsche Aussage wäre und ich sollte das beweisen, aber ich bin mir dabei nicht so ganz sicher , wie ich hier vorgehen sollte. Meine bisherige Idee ist jetzt nur, ein Fall zu betrachten wo, u=v=w gilt. Und da wir dafür halt eine Koeffizient = 0 brauchen (nehmen wir hier mal α)   
würde die Gleichung für die Nullgleichung heißen αu + αv + αw = 0

das können wir ausklammern α(u+v+w) = 0
u+v+w ´= 0 und da halt da durch u, v, w unitär wird (also die Koeffizienten sind = 1) sollte die Aussage falsch sein, aber ich weiss jetzt halt nicht, ob man das tun darf.

Answer 1

so etwas kann man mit einem Gegenbeispiel beweisen:

Betrachte im Vektorraum ℝ² die Vektoren  \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Diese sind paarweise linear unabhängig, denn keiner ist ein Vielfaches (≠0) des anderen.

Wegen \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) + \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

ist die Menge { \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) ,\( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)} aber linear abhängig.

Gruß Wolfgang