n Vektoren sind linear unabhängig aber n+1 linear abhängig. Beweisen

Question

Aufgabe:

Man beweise: Sind v1,v2,_,vn linear unabhängige Elemente eines Vektorraums V und sei w ein Element aus V so, dass die Menge v1,v2,_,vn,w linear abhängig ist, dann ist w im span der Vektoren v1,v2,_,vn enthalten.

Problem/Ansatz:

Wir wissen a1v1+a2v2+_+anvn ≠ 0 für (a1,a2,_,an) ≠ (0,0,_,0).

Nun ist a1v1+a2v2+_+anvn+bw = 0 für (a1,a2,_,an,w) ≠ (0,0,_,0)

=> a1v1+a2v2+_+anvn = -bw

=> -\( \frac{1}{b} \) (a1v1+a2v2+_+anvn) = w

und somit ist w im span von v1,v2,_,vn.

(Ich bin mir unsicher, wie ich den b=0 Fall ausschliessen kann)

Reicht dies als beweis und ist gehe ich in die richtige Richtung mit dem Ansatz?

Answer 1

Der triviale Fall b = 0 ergibt sich ja, wenn a1 bis an 0 sind. Daher brauchst du nur b ≠ 0 berücksichtigen und das hast du gemacht.

Comments

Die Annahme b = 0 ergibt einen Widerspruch, denn dann müsste ein a_i ungleich Null sein.