Exponentielles Wachstum: Anzahl Artikel bei Wikipedia. Wann ist die Zunahme 400 pro Tag?

Question

Komme mit Anwendungsaufgabe nicht mehr weiter! Ich habe hier eine etwas knifflige Aufgabe, die a, b und c habe ich ohne Probleme lösen können. Bei d) und f) bin ich verzweifelt.

Nach dem 1. Oktober 2002 nahme die Anzahl der im Internetlexikon Wikipedia erschienenen englischen Artikel näherungsweise gemäß der Funktion f mit f(x) = 80000·e^0,002·x (x in Tagen) zu.

a) Wie viele Artikel gab es annähernd am 1. Januar 2003 bzw. am 1. Januar 2004?

b) Wann gäbe es eine Million Artikel, wann eine Millarde, wenn dieses Wachstum so anhält?

c) In welcher Zeitspanne verdoppelt sich die Anzahl der erschienenen Artikel? Zeigen Sie, dass diese Verdoppelungszeit immer gleich ist.

d) Um wie viel Prozent wächst die Anzahl der Artikel jährlich? Zeigen Sie, dass dieser Prozentsatz in jedem Jahr gleich ist.

e) Wie viele Artikel erschienen annähernd am 1. Oktober 2003? Berechnen Sie diese Anzahl auch mit Hilfe der Ableitung und vergleichen Sie.

f) Wann nimmt die Anzahl der Artikel pro Tag um 400 zu?

Answer 1

d)  Bilde f ( x+365) = 80000* e ^{0,002*(x+365)} = 80000* (   e ^0,002x+0,73)

= 80000* (   e ^0,002x * e^0,73)  =  f(x) *  e^0,73)=f(x) * 2,07 

Also nach einem Jahr 2,07 mal soviel wie im Vorjahr, also
Steigerung um 107%.

Comments

f)    f(x+1) = f(x) + 400
 
  80000* e ^0,002*(x+1)  =  80000* e ^0,002*x + 400

  80000* e ^{0,002*x+0,002}  =  80000* e ^0,002*x + 400

  80000* e ^{0,002*x    *}   e^0,002  =  80000* e ^0,002*x + 400      |  : 80000* e ^0,002*x

  e^0,002   =  1  +  400 / ( 80000* e ^0,002*x )   
1,002002 = 1  +  400 / ( 80000* e ^0,002*x   ) 
0,002002 = 400 /( 80000* e ^0,002*x )   
0,002002 * 80000* e ^0,002*x     = 400
160 * e ^0,002*x     = 400
e ^0,002*x     = 400 /160 = 2,5
0,002x = ln(2,5) = 0,915
x = 458.
Nach 458 Tagen nimmt die Anzahl um 400 zu.

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VIELEN DANK! Auf das letzte kam ich durch Zufall sogar selber!! ^^