Stimmt: "Vereinigung von zwei Unterkörpern von K ist wieder ein Unterkörper von K"?

Question

hallo

ich soll diese Aussage überprüfen:

"Vereinigung von zwei Unterkörpern von K ist wieder ein Unterkörper von K"

Die Aufgabe:

 Da ich den oberen Teil beweisen muss ( diese Aussage ist wohl richtig), vermute ich, dass die untere Aussage falsch sein muss.

wie überprüfe/begründe ich das?

danke!

Comments

"wie überprüfe/begründe ich das?"

Wie ueblich durch Angabe eines Gegenbeispiels.

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kennst du vielleicht ein Gegenbeispiel?

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Liste mal einige Unterkoerper von \(\mathbb{C}\) auf. Muss aber etwas origineller sein als \(\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\), denn wenn ich da zwei vereinige, kommt ja immer der groessere raus und es wird kein Gegenbeispiel.

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vielleicht die Menge der Aquivalenzklassen Z/nZ ?

wie schreibe ich das formal korrekt auf?

meinst du, wenn man ℚ und ℝ vereinigt erhält man ℂ ?

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"vielleicht die Menge der Aquivalenzklassen Z/nZ ?"

Seit wann gilt denn z.B. \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\subset\mathbb{C}\) ? Die \(0\) und die \(1\) in \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) sind doch ganz andere Objekte als die \(0\) und die \(1\) in \(\mathbb{C}\).

"meinst du, wenn man ℚ und ℝ vereinigt erhält man ℂ ?"

Nein. ich meine, wenn man \(\mathbb{Q}\) und \(\mathbb{R}\) vereingt, dann kriegt man
\(\mathbb{R}\), also kein Gegenbeispiel.

Also, mein Tipp lautet: Finde einen passenden Koerper \(K\ne\mathbb{R}\) mit \(\mathbb{Q}\subset K\subset\mathbb{C}\), dann ist \(K\cup\mathbb{R}\) Dein gesuchtes Gegenbeispiel.

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also...

K = { z ∈ ℂ Ι ∃ a,b ∈ ℚ : z = a + (√2) i }

das wäre doch ein Unterkörper von ℂ ( π  ist nicht enthalten ) ?

hab ich das so richtig?

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So, wie das da steht, ist es sicher kein Koerper. Ist ja nicht mal abgeschlossen bzgl. + und *. Richtung ist aber gut.

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dankeee!

wie sieht es mit:

K = { z ∈ ℝ Ι ∃ a,b ∈ ℚ : z = a + b(√2)}

ist das abgeschlossen?
das wäre dann ein Unterkörper von ℝ...

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Das ist \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\). Wenn Du es so machen willst, dann brauchst Du aber noch einen passenden Kumpel für die Vereinigung. Mit \(\mathbb{R}\) zusammen ist es ja  \(\mathbb{R}\) und mit \(\mathbb{Q}\) ist es \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\). Also noch nix mit Gegenbeispiel.

Meine urspruengliche Idee war, \(\mathbb{Q}(i)\) zu verwenden.

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also

K = { z ∈ ℂ Ι ∃ a,b ∈ ℚ : z = a + bi }

so ok?

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Dein \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) geht auch, nur dass dann die Vereinigung mit \(\mathbb{R}\) noch kein Gegenbeispiel ist. Finde doch zur Uebung auch dazu noch einen passenden Kumpel.

Also: Warum ist jetzt \(\mathbb{Q}(i)\cup\mathbb{R}\) kein Koeper?

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ich beantworte erst mal die Frage, dann weiß ich wenigstens worauf ich auf den passenden Kumpel achten muss.

in der Tat sind beide Unterkörper von ℂ,

ähm..ich kann die beiden gar nicht vereinigen... wenn es Mengen wären, hätte ich gesagt, die beiden sind disjunkt zueinander...

es gilt
z ∉ ℝ
r ∉ ℚ (i)

also das eine Element ist in dem jeweiligen anderen Körper nicht enthalten..

kann man das irgendwie besser aufschreiben?

und zu der Übung... ℤ müsste doch ein passender Kumpel sein?

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Wenn beides Unterkoerper von \(\mathbb{C}\) sind, dann enthalten auch beide \(\mathbb{Q}\). Das ist naemlich der Primkoeper von \(\mathbb{C}\). Und selbst wenn: Mengen kann man immer vereinigen (und schneiden), egal, was da drin ist oder nicht.

\(\mathbb{Q}(i)\cup\mathbb{R}\) besteht (in der komplexen Ebene) aus der kompletten reellen Achse und allen weiteren Punkten der Form \(r+si\) mit \(r,s\in\mathbb{Q}\).

Bleibt die Frage, warum es kein Koerper ist ...

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Wenn es ein Körper ist, dann müssen die Körperaxiome gelten.

aber: diese Vereinigung der beiden Unterkörper ist nicht abgeschlossen, oder?

......

ich habe folgendes Bild im Kopf: ein Zahlenstrahl + oberhalb und unterhalb sind viele Punkte.

nimmt man nun einen dieser Punkte und addierte diese mit einem Punkt auf dem Zahlenstrahl...

(genau genommen, die Ortsvektoren)

dann muss man nicht zwingend auf einem Element der Vereinigung landen...

......

man könnte ja auch einen Punkt (Ortsvektor) der Form r+si mit r,s ∈ ℚ mit Wurzel (2) multiplizieren....

es ist kein Körper, weil sie nicht abgeschlossen ist bzgl. Addition und Multiplikation.

habe ich es nun richtig?

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Gratuliere! :)

In der Vereinigung ist z.B. \(\sqrt{2}\) und \(i\) drin, es fehlen aber Summe und Produkt von den zweien.

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dankeee!!  für die ganzen Antworten und die Mühe! und dass du dir die Zeit dafür genommen hast. 

danke nochmals! :D