Beweise den folgenden Satz nachdem du den ggT bestimmt hast.

Question

Beweise bzw. begründe:

Jede beliebige ganze Zahl lässt sich so darstellen: x mal 265 + y mal 148 x,y∈ℤ

(vorher sollte der ggT bestimmt werden mit dem euklidischen Algorithmus).

Finde leider keinen Ansatz :/

Comments

größter gemeinsamer Teiler = 1 ?!

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Das ist richtig.

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Super und wie kann ich damit jetzt die Aussage begründen ? :0

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Da ggT(265,148) = 1 gibt es zwei ganze Zahlen x und y , so dass

$$ x \cdot 265 + y \cdot 148 = 1$$

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Ich würde jetzt sagen, dass es keine solcher zwei ganzen Zahlen gibt. Aber da die Aufgabe an uns so gestellt ist wie sie ist würde ich sagen die muss es geben aber ich komme nicht darauf.

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also wenn dann ist x bestimmt positiv und y negativ ?

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Aus der Behauptung aus meinem letzten Kommentar (ist dir klar warum das gilt? Habt ihr diese Aussage schon gehabt) kannst du eigentlich direkt folgern, dass die Behauptung aus deiner Frage wahr ist.

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Nein die Aussage haben wir noch nicht gehabt :0 nur den euklidischen Algorithmus.

Ich bekomme das Gleichungssystem nur nicht aufgelöst >.< auch nicht mit dem Wissen darüber, dass x positiv und y negativ sein muss.

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noch jemand da ? :)

Answer 1

Ist ein bekannter Satz:  Wenn der ggt zweier Zahlen = 1 ist, dann gibt es immer

x und y mit  1.Zahl * x   +   2. Zahl  * y   =  1  .

und wenn du irgendeine andere Zahl z so darstellen willst, nimmst du

einfach beide Seiten der Gleichung mal z.

Comments

Ja okay aber wir müssen es ja begründen können und ich finde einfach seit bestimmt einer Stunde einfach keine zahlen für x und y außer Kommazahlen

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wenn du den eukl. Alg gemacht hast, sieht das doch so aus:
265 = 1.148 + 117
148 = 1*117 + 31
117 = 3*31 + 24
31 = 1* 24 + 7
24 = 3*7 + 3
7 = 2*3 + 1
und  jetzt dröselst du das rückwärts wieder auf
1 =  7 - 2*3   // Darstellung mit den letzten beiden Resten 3 und 7
                       Die 3 kannst du mit 24 und 7 darstellen aus 24 = 3*7 + 3
   =  7 - 2*( 24 - 3*7)
   =  4*7 - 2*24    Darstellung mit den beiden Resten 7 und 24
                        dann die 7 kannst du mit 24 und 31 darstellen aus 31 = 1* 24 + 7

= 4*(31 - 24) - 2*24

= 4*31 -6*24  jetzt über 117 = 3*31 + 24die 24 rauswerfen, dafür kommt die 117 rein. etc.

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oh man ich bin echt einfach zu blöd. Ja genauso sieht der euklidische Algor. bei mir aus aber wieso soll ich jetzt allles rückwärts machen, um die Gleichung x* 265+y*148= 1 zu lösen`?

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ich weiß jetzt durch Recherche genau wie dieses Verfahren  heißt und konnte es lösen .Danke.