Rekonstruktion einer Funktion 3.Grades

Question

Hallo. Ich bräuchte eure Hilfe bei meinen Hausaufgaben.

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat in P (1|6) eine Tangente, die parallel zur x Achse verläuft. (Meiner Meinung nach soll das heißen, dass an diesem Punkt die Steigung 0 lautet.), und in Q (0|4) einen Wendepunkt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Also eine Funktion dritten Grades ist ja so aufgebaut:

ax^3+bx^2+,... usw.

Ich weiss f'(1)= 3a+2b+c=0

Auch weiss ich

f"(0)=2b

Irgendwie schaff ich nicht daraus die Funktion zu basteln.

Comments

Du solltest noch die Information aus den Punkten P und Q für f selbst verwenden.

Ausserdem sagt der Wendepunkt auch noch etwas über f'' aus.

Damit solltest genug Gleichungen zum Lösen zusammenbekommen.

Gruß

Answer 1

Du hast doch noch mehr:   f ( 1) = 6  weil " hat in P (1|6) eine"

und f ( 0) = 4 weil    und in Q (0|4) einen   da hast du schon mal d=4,

dann ist es nicht mehr wild.

Answer 2

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat in P \((1|6)\) eine Tangente, die parallel zur x- Achse verläuft. (Meiner Meinung nach soll das heißen, dass an diesem Punkt die Steigung 0 lautet.), und in Q \((0|4)\) einen Wendepunkt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

P \((1|6)\)↓:P´ \((1|0)\) doppelte Nullstelle:

\(f(x)=a[(x-1)^2(x-N)]\)

\(f'(x)=a[(2x-2)(x-N)+(x-1)^2 \cdot 1]\)

\(f''(x)=a[(2x-2N)+(2x-2)\cdot 1+(2x-2)]\)

Q \((0|...)\) einen Wendepunkt:

\(f''(0)=a[(-2N)+(-2)+(-2)]=a[-2N-4]=0\)

\(N=-2\):

\(f(x)=a[(x-1)^2(x+2)]\)

Q \((0|4)\)  ↓ Q´ \((0|-2)\)

\(f(0)=a[(-1)^2 \cdot (2)]=2a=-2\)

\(a=-1\):

\(f(x)=-(x-1)^2(x+2)\) ↑:

\(p(x)=-(x-1)^2(x+2)+6\)

Answer 3

Um Steckbriefaufgaben zu lösen empfehle ich https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Sebstkontrolle

Eigenschaften

f(1)=6
f'(1)=0
f(0)=4
f''(0)=0

Gleichungssystem

a + b + c + d = 6
3a + 2b + c = 0
d = 4
2b = 0

Errechnete Funktion

f(x) = -x^3 + 3·x + 4

Skizze

~plot~ -x^3+3x+4;{0|4};{1|6};[[-6|6|-1|7]] ~plot~