Wie bestimme ich hier Schritt für Schritt einen Wert, sodass die Funktion eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist?

Question

Ich habe die 3 Bedingungen gefunden, die eine Wahrscheinlichkeitsdichte ausmachen:

1. f(x)≥0

2. f(x) ist integrierbar   (1. Auf ℝ beschränkt, 2. auf ℝ bis auf endlich viele Sprungstellen stetig)

3. ∫(-∞ bis + ∞) f(x) dx =1

Answer 1

Nach Punkt 3 muss gelten$$1=\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\mathrm dx=\int_0^6\left(-\tfrac12kx^3+3kx^2\right)\mathrm dx=-\tfrac18kx^4+kx^3\bigg\vert_0^6=54k.$$Es folgt \(k=\frac1{54}\) und somit$$f(x)=-\tfrac1{108}x^3+\tfrac1{18}x^2=\tfrac1{108}(6-x)x^2.$$Die Bedingung \(f(x)\ge0\) ist für \(0\le x\le6\) offenbar erfüllt.