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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

\( f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{cl} a x^{2}+b x+c & \text { für }-2 \leq x \leq 0 \\ 1-\frac{3}{2} x & \text { für } 0<x \leq \frac{2}{3} \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right. \)

a) Bestimmen Sie die Parameter \( a, b \) und \( c \) so, dass \( f_{\mathrm{X}} \) eine stetige Wahrscheinlichkeitsdichte ist.

b) Geben Sie anschließend die durch \( f_{\mathrm{X}} \) definierte Verteilungsfunktion \( F_{\mathrm{X}} \) an.

c) Bestimmen Sie den Erwartungswert.


Problem/Ansatz:

Moin liebes Forum, ich bin neu hier und hoffe, dass mir geholfen werden kann. Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe. (siehe Anhang) Mir sind die Bedingungen für die Stetigkeit da. Ich stehe nur total auf dem Schlauch. Über den linksseitigen Grenzwert bekomme ich schon eine erste Gleichung heraus.

4a−2b+c=0

Rechtsseitig auch, nur der hilft mir nicht bei den Parametern weiter. Nur dann hängt es. Ich habe ja drei Unbekannte, selbst wenn ich über die zweite Bedingung des Integrals von −2 bis 23 eine zweite Gleichung bekommen würde. In einer Beispielaufgabe im Skript wurde vorzeitig festgelegt, dass f(0)=0 sein soll. Damit würde ich zumindest das c aus dem Spiel nehmen, da dann c=0 sein muss und könnte die Aufgabe lösen mit a=15b=25 und c=0. Nur ich leg ungern einfach was fest, was nicht in der Aufgabe genannt wurde. :-D) In dieser steht halt nichts dergleichen drin. Vielen vielen Dank für die Hilfe! Ich hoffe, dass ich mich bei Zeiten revanchieren kann. Gruß aus Hamburg!

Flo

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Beste Antwort

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Dichtefunktion lautet:$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}ax^2+bx+c & \text{für }x\in[-2;0]\\[1ex]1-\frac32x & \text{für }x\in\left(0;\frac23\right]\\[1ex]0 & \text{sonst}\end{array}\right.$$

zu a) Parameter bestimmen

Die Wahrscheinlichkeitsdichte soll stetig sein, daher darf \(f(x)\) an der Übergangsstelle \(x=0\) nicht "springen". Mathematisch ausgedrückt liefert das die Forderung:$$(ax^2+bx+c)_{x=0}\stackrel!=\lim\limits_{x\searrow0}\left(1-\frac32x\right)\implies c=1$$

Zusätzlich darf \(f(x)\) auch an der Übergangsstelle \(x=-2\) nicht "springen". Da für \(x<-2\) ja \(f(x)=0\) gilt, heißt das:$$0\stackrel!=f(-2)=4a-2b+c=4a-2b+1\implies b=2a+\frac12$$

Die Gesamtfläche unter der Dichtefunktion muss auf \(1\) normiert sein:$$1\stackrel!=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=\int\limits_{-2}^0(ax^2+bx+1)\,dx+\int\limits_0^{2/3}\left(1-\frac32x\right)dx$$$$\phantom{1}=\left[\frac a3x^3+\frac b2x^2+x\right]_{-2}^0+\left[x-\frac{3x^2}{4}\right]_0^{2/3}=-\left(-\frac{8a}{3}+2b-2\right)+\left(\frac23-\frac{3\cdot\frac49}{4}\right)$$$$\phantom{1}=\frac{8a}{3}-2b+\frac{7}{3}\stackrel{(\text{s.o.})}=\frac{8a}{3}-2\left(2a+\frac12\right)+\frac{7}{3}=\frac43(1-a)\implies a=\frac14$$

Damit haben wir die Parameter bestimmt und erhalten als Dichtefunktion:$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^2}{4}+x+1 & \text{für }x\in[-2;0]\\[1ex]1-\frac32x & \text{für }x\in\left(0;\frac23\right]\\[1ex]0 & \text{sonst}\end{array}\right.$$

Kommst du nun mit (b) und (c) alleine weiter? Falls nicht, einfach nachfragen...

Avatar von 152 k 🚀

Danke für die tolle Antwort!

Du hast natürlich recht!

Genau bei dem "Springen" stand ich aufm Schlauch.

Ich könnt ohne nahtlosen Übergang ohnehin kein Gesamtintegral = 1 bilden.

Daher auch der Limes gen 0 beim zweiten Funktionsteil!

Mega!

Besten Dank!!!!!!!!

Hallo Tschakabumba,

bei mir ist es leider anders herum, a) habe ich hinbekommen und bei b) und c) hapert es bei mir. Könntest du mir dazu bitte ein paar Tipps geben?

Vielen Dank!

Hallo ,

Könnte mir bitte jemand B, und C zeigen ?

Hi Tschakabumba, auch wenn deine Antwort schon eine Weile her ist, möchte ich mich hierfür bedanken, es hat klick gemacht zumindest bei dem ersten Teil der Aufgabe.

Ich würde mich sehr freuen, wenn du mir auch in den Aufgaben b und c helfen könntest. Hierfür wäre ich sehr dankbar.

Hoffentlich bis bald und ganz liebe Grüße.

Ricardo

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Hallo,

ich vermute folgendes.

f(-2)=0, da -2 die untere Grenze ist.

Integral von -2 bis ⅔ gleich 1, da die gesamte Wahrscheinlichkeit 1 ist.

:-)

Avatar von 47 k

Korrekt!

Nur mit zwei Gleichungen im LGS, schaffe ich es leider nicht drei Unbekannte zu bestimmen... :(

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