Vollständige Induktion Schachbrett

Question

Ein nm Schachbrett hat n Reihen und m Spalten und die einzelnen Felder sind mit zwei verschiedenen
Farben (zum Beispiel weiß und schwarz) so gefärbt, dass je zwei horizontal oder vertikal benachbarte
Felder unterschiedliche Farben haben.

Beweisen Sie die folgende Aussage per vollständiger Induktion (über n):

Für alle n ∈ ℕ gilt: Alle Eckfelder eines (2n+1)(2n+1) Schachbretts haben die gleiche
Farbe.

Mein Ansatz:

n = 1

(2*1+1)x(2*1+1) = 3x3. Dann hab ich daneben eine kleine Zeichnung eines 3x3 Schachbrettes, auf der man erkennt, dass die Eckfelder die gleiche Farbe haben.

Da sich bei einem schachbrett die Farben immer abwechseln, befinden sich am Anfang und ende Jeder Zeile immer dann die gleiche Farbe, wenn die Anzahl der Felder ungerade ist.

2n+1 ist immer ungerade, da der erste Summand durch 2 Teilbar ist und dann noch 1 draufaddiert wird.

Somit hat ein Schachrbrett mit der größe (2n+1)(2n+1) immer gleichfarbige ecken.

Ich denke nicht, dass man das so in einer Prüfung hinschreiben könnte, daher  wollte ich hier mal fragen, wie man sowas mathematisch korrekt aufschreiben würde.

Answer 1

deine Argumentation ist völlig korrekt, sie erfüllt aber die Forderung "per vollständige Induktion" nicht (*).

Den Schluss von n auf n+1 kann man verbal so formulieren:

Ein [ 2(n+1)+1 ] x  [ 2(n+1)+1 ] - Brett  =  [ 2n+1 + 2 ] x [ 2n+1 + 2 ] - Brett  hat in jede Richtung zwei Reihen mehr.

Da die Farben  sich abwechseln, ändert sich die Farbe der Eckfelder nicht.

Gruß Wolfgang

(*) Eine künstliche Komplizierung der Mathematik ist eine Sünde wider den Geist.