gegeben sei folgende Summe:
$$\sum _{ i=0 }^{ n }{ { 11 }^{ i } } =\frac { { 11 }^{ n+1 }-1 }{ 10 }$$
Im Induktionsanfang kommt für beide 12 raus:
$$ \sum _{ i=0 }^{ 1 }{ { { 11 }^{ 0 }+11 }^{ 1 } } =\frac { { 11 }^{ 1+1 }-1 }{ 10 } =\frac { { 11 }^{ 2 }-1 }{ 10 } =12 $$
Die Induktionsvoraussetzung wäre dass es für alle n ≥ 0 gilt.
Induktionsbehauptung:
$$\sum _{ i=0 }^{ n }{ ({ 11 }^{ i }) } \quad +\quad { 11 }^{ n+1 }=\frac { { 11 }^{ n+2 }-1 }{ 10 }$$
Induktionsbeweis:
$$ \frac { { 11 }^{ n+1 }-1 }{ 10 } +{ 11 }^{ n+1 }=\frac { { 11 }^{ n+2 }-1 }{ 10 } $$
Ab diesem Punkt weiß ich aber nicht mehr weiter.
$${ 11 }^{ n+1 }-1+{ 10 \times 11 }^{ n+1 }={ 11 }^{ n+2 }-1$$
Laut WolframAlpha kann die linke Seite auf:
$$ { 11 }^{ n+2 }-1$$
vereinfacht werden, womit sich auch der Beweis erledigt.
Allerdings kenne ich die Schritte, die dazu notwendig wären, nicht.
Meine Fragen sind also: Was wären die notwendigen Schritte dafür?
Welche anderen Lösungsmöglichkeiten gäbe es noch?
