Der Definitionsbereich A muss so gewählt werden, dass die Funktion injektiv ist, das heißt, dass jede Parallele zur x-Achse den Graph höchstens einmal schneiden darf. B ist die zugehörige Wertemenge.
a)
f: ℝ0+ → [ 0 ; -1 ] ; x ↦ x2 - 1 [ ℝ0- als Definitionsbereich ginge auch! ]
y = x2 - 1
nach x auflösen:
x2 = y + 1 ≥0 für y ∈ [ 0 ; -1 ]
x = √(y+1)
Variablennamen vertauschen:
y = √(x+1)
f -1(x): [0 ; -1] → ℝ0+ ; x ↦ √(x+1)
Der linke Teil der Parabel gehört für x∈ ℝ0+ nicht zum Graph → f injektiv.
Der Graph der Umkehrfunktion ergibt sich durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y=x
b)
f: ℝ → ℝ ; x ↦ x3 +1 ist injektiv
y = x3 +1
x3 = y -1
x = 3√ (y-1) für y≥ 1 [Radikand ≥ 0]
- 3√ (1 -y) für y <1
....
Gruß Wolfgang