Wie zeigen, dass Pi größer als 3 ist? Cos/sin?

Question

komme bei der Letzten Analysis Aufgabe nicht weiter. Und zwar soll man zeigen, dass π > 3 ist. 

Ich hab schon alles mögliche versucht mit cos und sin, aber nichts bringt mich weiter? Weiß vielleicht jemand wie man an die Aufgabe drangehen muss?  

Comments

kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen ich hab leider nicht so viel Ahnung

Zeigen Sie π>3.

Hinweis: Die am Ende erforderliche Bruchrechnung kann mit einem Taschenrechner erledigt werden.

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Wie habt ihr denn \(\pi\) definiert?

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also ich meine , dass pi ist so definiert.

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Ja genau so.

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Haste auch beim Braun? Ich zerbrech mir den Kopf auch gerade drueber... ich schreib die Antwort hier hin wenn ich sie gefunen hab :(

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Hmm für eine gute Antwort muss man leider mehr über das wissen was ihr gemacht habt. Es gibt verschiedene Wege dies zu zeigen. Welcher mit euren Voraussetzungen konform ist, ist schwer einzusehen (jedenfalls auf Basis der Definition).

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Wir behandeln in der Analysis Vorlesung gerade spezielle Funktionen (davor haben wir komplexe Zahlen behandelt), unsere letzten Unterkapitel waren Polarkoordinaten und Landau-Symbole.

Ich habe wirklich ueberhaupt keine Ahnung, wie wir das beweisen sollen... nicht mal einen Ansatz :(

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Darf es auch ein geometrischer Ansatz sein? Ein Vergleich des Umfangs des Einheitskreises mit dem eines einbeschriebenen regelmäßigen Sechsecks zeigt die Behauptung.

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Seid ihr nach 5 jahren endlich auf die lösung gekommen weil ich auch bei dem herrn braun habe und er die aufgabe nach 5 jahren wieder gestellt und noch 3 tage habe um die zu bearbeiten

irgendwie lustig das ganze

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Bin durch ne Google suche hier gelandet und konnte meinen Augen kaum glauben als ich die frage von 2015 gelesen habe ob er auch den Braun habe. Und dann der Nachtrag vor 3 Tagen. Ich bin nämlich auch an der Uni beim Braun und komme nicht weiter. Wie klein die Welt doch ist.

Answer 1

Direkt mit der Definition von \(\pi\), dass also \(\pi/2\) die erste positive Nullstelle der durch die Potenzreihe erklaerten Kosinus-Funktion ist, geht es so:

Fuer \(0<x\le3\) gilt (vgl. Abbruchfehlerabschaetzung im Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen) $$\cos x>1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}=:C_6(x).$$ Die Gleichung \(C_6(x)=0\) kann man durch die Substitution \(z=x^2\) auf eine dritten Grades zurueckfuehren und mit Cardano loesen. Als einzige positive Nullstelle erhaelt man \(\xi\approx1,5699\), also \(\pi>2\xi>3\).

(Von den Taylorpolynomen mit kleinerem Grad kommt nur \(C_2(x)\) als untere Schranke infrage. Die Anschaetzung damit ist aber zu schlecht.)

Comments

Kannst du vielleicht etwas ausführlicher erklären wie du C6(x)=0 mit Cardano löst? Ich hab versucht es zu lösen, aber da wir ja überall Brüche haben tu ich mich sehr schwer damit.

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Was heisst hier erklaeren? Man setzt in die Formel ein und rechnet es aus. Ich persoenlich hab das meinen Computer machen lassen.

Denkbar ist auch, dass eine andere Lösung der Aufgabe angedacht ist. Es gibt nettere Methoden, um \(\pi\) auszurechnen. Der bisherige Verlauf der Vorlesung sollte Hinweise geben. Da ich eure Vorlesung aber nicht hoere, ...

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hallo
die gleichung hab ich gelöst und das ergebnis bei mir ist gleich nur wie kommen sie zu dem vergleich:

π>2ξ>3

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Na wegen \(\cos x>C_6(x)\) für \(x\in(0,3)\). Wenn der Kosinus oberhalb von \(C_6\) verlaeuft, dann muss er seine erste Nullstelle spaeter haben als \(C_6\).

~plot~cos(x);1-x^2/2+x^4/24-x^6/720;[[0|3|-1.01|1.01]]~plot~

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0=1-x^2/2+x^4/24-x^6/720 -> sehr umständlich, aber exakt lösbar

mit Substitution u=x²

ergibt kubische Gleichung, die per PQRST-Formel exakt lösbar ist

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

nach Rücksubst.

x= sqrt(2 (5-5^{2/3}/(-11+3 sqrt(14))^{1/3}+(-55+15 sqrt(14))^{1/3}))

= 1.5699058251611914566..

Newton-Iteration reicht aber auch...

Answer 2

Ist schon komisch, dass sich jemand aus den über 100 Algorithmen von Pi

http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm

diese eine

Pi = acos(0)*2

aussuchte.

aus acos(0)=asin(1) folgt mit der Reihenentwicklung

https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Reihe

asin(1)=2*atan(1)=2*{1-1/3+1/5-1/7+1/9-...}=526/315

dann noch mal 2 ergibt immer was größer 3

Comments

Hier noch ein anderer Lösungsweg ohne Reihenentwicklung.

Da "Eure Definition" von Intervallen spricht, -> Intervallhalbierungsverfahren:

Bei Wikipedia Bisektion genannt

Iterationsrechner Beispiel 2 leicht anpassen für die Grenze a=0 und b=2 konvergiert gegen Pi/2:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#cos(x)@Na=0;b=2;c=(a+b)/2;@Nd=(Fx(c)*Fx(a)%3C0);a=d?a:c;b=d?c:b;c=@Bi]=(c+(d?a:b))/2;@N@AFx(c))%3C%205e-14@N0@N1@Nc=c*2;

oder gleich in Iterationsformel aC[i]=c*2; zusätzlich einbauen -> da sieht man schon ab Schritt 3 (Index i=2), dass sich Pi zwischen 3 und 3.25 einpendelt.

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zu "Ende erforderliche Bruchrechnung". Also was mit Bruch-Funktionen:

Bekannt ist die Stirlingsche Näherungsformel für die Fakultät.

http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm 

§6c reicht ein Bruch zu berechnen, wenn Argument (x dort oder i beim Iterationsrechner) groß genug:

bei i=40 ergibt der Bruch aus 2 großen ganzen Zahlen 3.16... also größer 3