Absolute Konvergenz beweisen von Σ (a_n*b_n) und Σ (a_n + b_n)^2.

Question

Hallo könnte mir jemand hierbei Helfen?

Σ

Answer 1

aus der binomischen Formel folgt für 2 komplexe Zahlen \(a\) und \(b\)

$$ |ab| \leq |a^2|+|b^2| $$

somit folgt die erste Behauptung mittels Majorantenkriterium.

Die zweite Behauptung folgt aus der 1. Behauptung, der Dreiecksungleichung und dem Majorantenkriterium.

Gruß

Comments

Hallo danke für die Antwort , die erste behauptung hab ich mir aufgeschreiben und kann ich nachvollziehen warum das so ist .

Wie meinst du das bei der Zweiten.

|(a+b)^2|≤|ab|?

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Nein sondern \( |(a+b)|^2 \leq (|a|+|b|)^2 \).

Mit 1. Behauptung ist die absolute Konvergenz der 1. Reihe \(\sum a_nb_n\) gemeint.

Mit 2. Behauptung ist die absolute Konvergenz der 2. Reihe \(\sum (a_n+b_n)^2\) gemeint.

Dachte das wäre klar.

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und wenn man das ausmultipliziert steht $${ \left| a \right|  }^{ 2 }+2{ \left| ab \right|  }+{ b }^{ 2 }$$ und davon wissen wir das alles absolut konvergent ist aus 1 ?

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Wir wissen dass diese Summen dann endlich sind.