10 Gäste bringen 10 Geschenke mit, Wahrscheinlichkeit , dass man sein eigenes Geschenk bekommt?

Question

Bei einem Weihnachtsfeier muß jeder Gast ein Geschenk mitbringen, wieviel ist die Wahrscheinlichkeit , ein bestimmter Gast sein eigenes Geschenk aus dem Sack zieht? Anzahl der Gäste 10 und Anzahl der Geschenke 10.

Comments

Zieht dieser bestimmte Gast als erster aus 10 Geschenken, oder hat schon jemand vor ihm gezogen?

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Ist das nicht egal?

Kann man nicht einfach die Anzahl aller Verteilungen der anderen 9 Geschenke auf 9 Personen / Anzahl aller Möglichen Verteilungen von 10 Geschenken auf 10 Personen.

Also quasi

$$ \frac{9!}{10!} = \frac{1}{10} = 0,1=10 \% $$

Bin mir nicht sicher ob das stimmt....

Gruß

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Jup.

Answer 1

Das ich mein Eigenes Geschenk ziehe da besteht eine Wahrscheinlichkeit von 1/10. Dabei ist es egal an welcher Position ich das Geschenk ziehe.

Die Wahrscheinlichkeit ändert sich nur wenn das Ergebnis von vorherigen Ziehungen bekannt ist.

Interessant ist die Wahrscheinlichkeit das niemand sein eigenes Geschenk zieht.

Das kann man mit der Anzahl fixpunktfreier Permutationen berechnen

https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktfreie_Permutation

Die Wahrscheinlichkeit geht dabei recht schnell gegen 1/e = 36.79%

Answer 2

Das geht natürlich (etwas aufwändiger) auch nach der Idee des 1. Kommentars:

Es gibt dann sozusagen 10 Fälle, wie man sein eigenes Geschenk herauszieht.

1. Ich darf als erster ziehen:  sind 10 im Sack, davon eines meines also p=1/10

2. ich bin als 2. dran. Gibt zwei Fälle:

Der erste zieht meines (p=0,1) danach ziehe ich (p=0) , also für den ganzen Pfad p=0

Der erste zieht was anderes(p=0,9)  dann ich p=1/9  also für den ganzen Pfad p=0,1)

3. ich bin als 3. dran etc... 

Bei jedem der 10 Fälle gibt es p=0,1. Und da genau einer dieser Fälle auftreten kann

ist auch auf diesem Wege p=0,1