Maximales Intervall finden, für das die Funktion streng monoton zunehmend/abnehmend ist

Question

Ich habe folgende Aufgaben zur strengen Monotonie:

1) Entscheiden Sie, welche der angegebenen Funktionen in ℝ streng monoton zunehmend bzw. streng monoton abnehmend ist:

f:x↦f(x)=0,5x-2

f:x↦f(x)=-3x+4

Ich hatte bei der ersten auf zunehmend, bei der zweiten abnehmend getippt, was auch richtig ist. Ich frage mich nur, woran ich das immer erkennen kann.

 

2) Geben Sie die maximalen Intervalle an, in denen die Funktionsgraphen streng monoton steigend bzw. streng monoton fallend sind. (Lösungen in Klammern, nur wie komme ich darauf)

f:x↦f(x)=x³ mit D_f=ℝ (G_f ist in ℝ streng monoton steigend)

k:x↦k(x)=x⁴ mit D_k=ℝ (G_k ist in ]-∞;0] streng monoton fallend und in [0;+∞[ streng monoton steigend)

h:x↦h(x)=x²-4 mit D_h=ℝ (G_h ist in ]-∞;0] streng monoton fallend und in [0;+∞[ streng monoton steigend)

p:x↦p(x)=-0,25(x+1)² mit D_p=ℝ (G_p ist in ]-∞;-1] streng monoton steigend und in [-1;+∞[ streng monoton fallend)

g:x↦g(x)=1/x mit Dg=ℝ⧵{0} (G_g ist in ]-∞;0[ streng monoton fallend und in ]0;+∞[ streng monoton steigend)

s:x↦s(x)=1/x² mit D_s=ℝ⧵{0} (Gs ist in ]-∞;0[ streng monoton steigend und in ]0;+∞[ streng monoton fallend)

 

3) siehe 2, nur dass hier die Intervalle ermittelt werden sollen.

f:x↦f(x)=0,5x²-3x+4 mit D_f=ℝ (G_f ist in ]-∞;3] streng monoton fallend und in [3;+∞[ streng monoton steigend)

g:x↦g(x)=-0,75x²-3x+5/2 mit D_g=ℝ (G_g ist in ]-∞;-2] streng monoton steigend und in [-2;+∞[ streng monoton fallend)

 

Nun ja, meine Fragen stehen ja bei den Aufgabenstellungen, nur habe ich noch eine kleine allgemeine Frage zur strengen Monotonie: Was ist der Unterschied zur "normalen", nicht strengen Monotonie?

 

Comments

Rechne doch einfach die erste Ableitung.

Wenn der Wert der Ableitung positiv ist, steigt die Funktion, wenn sie negativ ist fällt sie.

wenn für a<b gilt f(a)<f(b) heißt eine Funktion streng monoton steigend,

wenn für a<b gilt f(a) kleiner gleich f(b) heißt sie monoton steigend.

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Tut mir echt Leid, aber ich gehöre hier zu den ganz unbedarften (seit 6 Jahren aus der Schule und muss das nun selbst lernen). Ich habe keine Ahnung, wie ich die erste Ableitung rechne und wie ich daraus dann auf das Intervall komme.

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Für die allgemeine Form y= mx+t.

m gibt ja bekanntlich die Steigung an.

Wenn m negativ ist, fällt die Funktion, wenn sie positiv ist steigt sie.

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Gut, das hatte ich soweit vermutet.

Gilt das auch für quadratische Funktionen?

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Quadratische FUnktionen haben die Gleichung ax²+bx+c

für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, 

für a < 0 nach unten

Answer 1

Für Unterschied zwischen strenger Monotonie und Monotonie kann man sich ganz einfach an einem Beispiel klar machen:

Eine Konstante Funktion (z.B. f(x)=1) ist sowohl monoton steigend als auch monoton fallend aber nicht streng monoton..

Denn für x1<x2 gilt f(x1)<=f(x2) also monoton steigend (wegen <=) aber nicht streng monoton weil (<) falsch wäre.

und umgekhert gilt auch dass f(x1)>=f(x2) also monoton fallend (wegen >=) aber nicht streng monotn weil (>) falsch wäre.

Comments

Danke, das hilft mir in der Hinsicht schon mal weiter!