Monotonie. Funktion f soll auf dem Intervall I = [1;2] streng monoton steigen soll. a>0. a) f(x)= a*x^2-a^2*x

Question

Aufgabe lautet: Wie muss der Parameter a gewählt werden, wenn die Funktion f auf dem Intervall I = [1;2] streng monoton steigen soll? a sei stets positiv.

a) f(x)= a*x^2-a^2*x

b) f(x)= (1/3)a*x^3-(1/a)*x

c) f(x)= 4a^3*x^2+(1/x)

Wie geht man hier vor? Und bitte leicht und verständlich erklären mit Begründung, wäre echt dankbar.

Answer 1

f(x)= a*x²-a²*x

f ' (x) = 2a*x-a²    =  a * ( 2x-a)  Damit dies für  x aus  I = [1;2]immer positiv ist , muss wegen a>0 gelten   2x-a > 0

                                                                      2x > a 

                                                                    wegen x aus I gilt

                           1 ≤ x ≤ 2  also   

                             2≤ 2x ≤ 4                           und damit ist die Bedingung   2x > a 
 
                sicher erfüllt für  a < 2 also wegen der Vor.    0 <  a < 2 .

Comments

Und für die b) und c)?

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Probier mal so ähnlich und frage ggf. nach.

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@Matheloung-user: Wo ist der Dank an mathef? Versuche die eine oder andere Aufgabe selbst zu rechnen. Das gelingt bestimmt, wenn du die vorhandenen Antworten verstanden hast.

Vermutlich hat kassiopeia das gleiche Lehrmittel wie du. "ähnliche Fragen": https://www.mathelounge.de/98140/untersuchen-sie-die-funktion-f-auf-monotonie-f-x-x-1-x

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Keine Sorge, ich bedanke mich immer. Ich habe den Vorschlag von mathef in der Eile noch nicht angewendet, deshalb habe ich mich noch nicht bedankt. Und ich wollte sichergehen, dass ich später die b) und c) machen kann.

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Und Lu, die Frage, die du verlinkt hast, ist nicht die gleiche Frage wie die auf dieser Seite...

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mathef, kannst du deine Vorhergehensweise etwas präziser erläutern? Damit ich diese auch bei der b) und c) anwenden kann.

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z.B. bei b) 

f(x)= (1/3)a*x³-(1/a)*x

Ableiten:f ' (x) = a*x²  -  1/aJetzt schauen, dass dies auf dem Intervall I = [1;2]  positiv ist:          a*x²  -  1/a  > 0    

<=>           a*x²  >   1/a    | a

                    x² > 1/a²

jetzt das Intervall ins Spiel bringen: bei x=1 ist x² = 1 und bei x=2 ist x2=4also muss 1/a² größer sein als 4 ( dann ist es automatisch > 1 ).

Also ist die Bedingung   für das a ( außer, dass es positiv ist ) noch

           1/a²   > 4 

<=>     1/4  > a²  

Und weil es positiv sein muss also 

            a > 1/2 .