Monotonie von Funktionen beweisen. Bsp. f : R+ → R+, f(x) = x^(−1) streng monoton fallend

Question

Aufgabe:

ich soll beweisen, dass die Funktion  f : R+ → R+, f(x) = x^(−1) streng monoton fallend ist und dass die Funktion  g : R \ {0} → R \ {0}, g(x) = x^(-1) weder monoton wachsend noch monoton fallend ist.

Problem/Ansatz:

mein Problem hier ist, dass ich leider keinen Ansatz habe.

Answer 1

Konsultiere eure Definition von Monotonie

Üblich ist https://de.wikipedia.org/wiki/Monotone_reelle_Funktion#Definition

Bei g(x) passt das nicht.

x1= -1 und x2 = 1 liegen in beide in D.

x1 < x2 

Aber g(x1) = -1 < g(x2) = 1.

Somit ist g nicht auf ganz D monoton fallend.

Answer 2

\(f(x)=x^{-1}  \quad \Longrightarrow f'(x)=-x^{-2}\) Zeige, dass die Funktion nie größer als null wird. Also:$$-x^{-2}>0 \Longleftrightarrow -\frac{1}{x^2}>0$$$$-\frac{1}{x^2}>0 \quad |\cdot x^2$$$$-1>0 \quad \Box$$ Stimmt immer.

Analog bei der anderen Aufgabe.

Comments

Hallo Anton,
-1 > 0
Na, stimmt das ?

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Haha, stimmt immer nicht

Answer 3

ich soll beweisen, dass die Funktion 
f : R+ → R+, f(x) = x^(−1)
streng monoton fallend ist

 f ( x ) = 1 / x

 

f ´( x ) = -1/x^2

steigend ( Steigung positiv )
-1/x^2 > 0 | * x^2
-1 > 0 falsch

fallend ( Steigung negativ )
-1/x^2 < 0 | * x^2
-1 < 0 stets

Die Funktion ist sowohl in ℝ(+) als auch in
ℝ(-) fallend.

und dass die Funktion 
g : R \ {0} → R \ {0}, g(x) = x^(-1) weder monoton
wachsend noch monoton fallend ist.
Die Funktion ist im Definitionsbereich stets fallend.
Die Aussage in der Frage dürfte falsch sein.

Comments

Die Funktion ist im Definitionsbereich stets fallend.

Es ist g(-1) = -1 und g(1) = 1. Wie kann g fallend sein?

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Spacko hat recht. Es liegt keine Monotonie vor. Da die Funktion nicht differenzierbar ist, kannst Du das Ableitungskriterium für die Monotonie nicht anwenden und musst die Funktionswerte vergleiche. Siehe das Gegenbsp von Spacko.

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Vielleicht ist folgende Charakterisierung nützlich: Eine Funktion ist streng monoton fallend, wenn jede ihrer Sekanten streng monoton fällt. Dies ist im zweiten Beispiel nicht der Fall.

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Hallo unknown,
es sind 2 Aufgaben gegeben.

f ( x ) = 1/x im Definitionsbereich ℝ(+)
Ich sehe eine monoton fallende Funktion.
Sie ist sogar streng monoton fallend da es
keine Abschnitte mit waagerechter Steigung
gibt.

zu der 2.Aufgabe :
g ( x ) = f ( x ) = 1/x im Definitionsbereich ℝ \ {0}

was ist denn die Monotonie von
lim x -> 0(-) bzw. lim x -> 0(+) ?
= - ∞

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Die erste Aufgabe hat niemand moniert. Da kannst Du auch mit Deiner Argumentation kommen.

Übrigens: Auch wenn für strenge Monotonie ist eine waagerechte Steigung erlaubt. Wie gesagt, der vorherige und jetzige Funktionswert müssen sich unterscheiden. Das ist bspw auch bei f(x) = x^3 der Fall. In der Tat wird das manchmal aber "strenger" gehandhabt und ist teils Definitionssache.

Zweite Aufgabe: Um die geht es. Da ist Deine Aussage falsch. Du hast jede Menge Einwürfe...den von Spacko, den meinen, den von az. JedesMal mit anderen Worten oder gar unterschiedlichen Argumenten. Schau sie Dir doch nochmals gemütlich an!

Monotonie ist eine Eigenschaft und kein Wert. Und selbst wenn...siehe im Graphen für die Antwort Deiner Frage. Die beiden Limiten sind unterschiedlich. Oder meinst Du gar nicht den Limes von f(x)?

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Ich habe nachgeschaut :
Definition / Kriterium
Eine Funktion ist monoton fallend wenn sie immer
kleiner wird oder konstant bleibt jedoch nie
größer wird.
Danach ist die Funktion g nicht stets monoton
fallend.