Kann mir jemand die Monotonie erklären? Beh: a∨n = 1/(1+2nΛ2) fällt streng monoton.

Question

Ich verstehe das irgendwie gar nicht, kann mir das jemand erklären? hier ist ein Beispiel

a∨n = 1/(1+2nΛ2) 

Beweise, dass die Folge streng monoton fällt.

Answer 1

Du musst zeigen, dass

a_n+1 < a_n

D.h. dass

1/(1+2(n+1)^2) < 1/(1+2n^2) 

Wenn du hier nicht schon siehst, dass die Ungleichung für alle natürlichen n erfüllt ist.

Forme nun diese Ungleichung so lange um, bis die Behauptung zweifellos wahr ist. 

1/(1+2(n+1)^2) < 1/(1+2n^2)             | * HN       (1+2(n+1)^2)(1+2n^2) 

1+2n^2 < 1+2(n+1)^2     |-1

2n^2 <  2(n+1)^2       |:2

n^2 < n^2 + 2n + 1    |-n^2 

0 < 2n+1 , ist immer der Fall, da n eine natürliche Zahl ist.