Beweise, dass n2/3n+1 streng monoton steigen ist.

Question

Aufgabe:

Beweise, dass n^2/3n+1 streng monoton steigen ist. Wie stelle ich das an?

Answer 1

Aloha :)

Wir möchten die Monotonie einer Folge untersuchen:$$a_n\coloneqq\frac{n^2}{3n+1}$$Dazu betrachten wir die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)^2}{3(n+1)+1}-\frac{n^2}{3n+1}=\frac{n^2+2n+1}{3n+4}-\frac{n^2}{3n+1}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{(n^2+2n+1)(3n+1)}{(3n+4)(3n+1)}-\frac{n^2(3n+4)}{(3n+4)(3n+1)}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{3n^3+6n^2+3n+n^2+2n+1}{(3n+4)\cdot(3n+1)}-\frac{3n^3+4n^2}{(3n+4)(3n+1)}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{3n^3+7n^2+5n+1}{(3n+4)\cdot(3n+1)}-\frac{3n^3+4n^2}{(3n+4)(3n+1)}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{3n^3+7n^2+5n+1-3n^3-4n^2}{(3n+4)\cdot(3n+1)}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{3n^2+5n+1}{(3n+4)\cdot(3n+1)}>0$$Wegen \(a_{n+1}-a_n>0\) gilt auch \(a_{n+1}>a_n\). Die Folge ist streng monoton wachsend.

Comments

2n·3n = 6n².

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Danke dir, da habe ich mich vertan. Habe den Bug korrigiert ;)

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Kann man hier nicht n bestimmen, oder ist die rechnung hier zuende?

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In der letzten Zeile steht ein Bruch. Im Zähler des Bruchs steht die Summe 3n²+5n+1.

Alle drei Summanden sind positiv, also ist der Zähler insgesamt positiv.

Im Nenner steht das Produkt der beiden Faktoren (3n+4) und (3n+1).

Beide Faktoren sind positiv, also ist auch der gesamte Nenner positiv.

Wenn man einen positiven Zähler durch einen positiven Nenner teilt, ist der Bruch ebenfalls positiv. Also trifft die Aussage "Bruch>0" zu.

Der Bruch ist nur eine in mehreren Schritten umgewandelte Form der Differenz \(a_{n+1}-a_n\).

Also wurde hier die Aussage \(a_{n+1}-a_n>0\) nachgewiesen.

Damit gilt für alle n die Beziehung. \(a_{n+1}>a_n\), somit wächst die Folge monoton.

Answer 2

Beweise, dass die Folge mit dem allgemeinen Glied a_n=n²/(3n+1) streng monoton steigend ist.

Zeige a_n+1-a_n>0 also, dass (n+1)²/(3n+4)-(n²/(3n+1)>0.

Comments

Wo ist hierbei der Beweis?