DGL verschiedene Lösungen bestimmen

Question

Aufgabe:

ich habe bei folgender Aufgabe Probleme:

Bestimme mehrere Lösungen von x: ℝ→ℝ von dx=v(x)=√|x| zum Anfangswert x(0)= -1.

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht dx/dt nach der Trennung der Variablen umzustellen und komme so auf eine Konstante c=2 für den gegebenen Anfangswert.
Mein Ergebnis für |x|= t²/4 + t + 1
Sind dann zwei Lösungen + t²/4 + t + 1 und - t²/4 + t + 1 (falls meine Rechnung stimmt) oder gibt es da noch andere, die man anders lösen kann?

Bin dankbar für jede Hilfe :)

Answer 1

Hallo,

ich habe als Lösung für das Anfangswertproblem heraus:\( f(t):=-0.25 (t-2)^2\).

Wenn Du damit die Probe machst - einsetzen in die Differentialgleichung - , siehst Du, dass dies nur eine Lösung ist für \(t \leq 2\).

Ebenfalls durch eine Probe kannst Du feststellen, dass die Funktion (\h(t):=0.25(t-a)^2\) für jedes a eine Lösung der Differentialgleichung ist, aber nur für \(t \geq a\).

Jetzt kann Du Dir beliebig viele Lösungen des Anfangswertproblems basteln: Wähle ein \(a \geq 2\) und definiere:

$$x(t):=f(t), \quad t \leq 2 \qquad x(t):=0, \quad2 \leq t \leq a \qquad x(t):=h(t), \quad t\geq a$$

Gruß

Comments

Hallo MathePeter,

vielen Dank für Deine Antwort!

Hast Du das AWP über die Trennung der Variablen gelöst oder auf eine andere Art? Da komme ich noch nicht ganz auf die richtige Lösung, muss aber auch zugeben, dass ich noch keinen richtigen Überblick zu den DGLs habe (das sind unsere ersten Übungen dazu)...

Das weitere Verfahren konnte ich nachvollziehen - danke!

Maja

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Hallo,

ja, mit Trennung der Variablen, also

$$x'(t)\frac{1}{\sqrt{|x(t)|} }=1 \iff \int_{-1}^{x(t)} \frac{1}{\sqrt{-s}}ds=\int_0^t 1 ds$$

Ich mache es immer so, dass ich die Anfangsbedingungen sofort einarbeite. Hier zum Beispiel sehe ich, dass in der Nähe des Anfangspunkts x(t) negativ ist (wegen x(0)=-1), so dass ich den Betrag zu -s auflösen kann.

Gruß

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Vielen Dank!

Du hast mir sehr geholfen.

Maja

Answer 2

dx=v(x)=√|x|

gibt überhaupt keinen Sinn.

Comments

Sorry, ich meine natürlich dx/dt=v(x)

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Das ergibt ebenso wenig Sinn.

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Ich hatte es mit Sinn erfüllt, siehe meinen letzten Kommentar

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Ja, Deine Art, Dgl.en zu lösen, unbewiesene Behauptungen aufzustellen und Dein Ergebnis zusammenzustückeln ist wirklich Sinn erfüllend.