Anfangswertproblem y′ = |y|^1/2, y(0)=0 hat unendlich viele, paarweise verschiedene maximale Lösungen y : I → R, 0 ∈ I,

Question

Hallo,

ich soll zeigen, dass das Anfangswertproblem y′ = |y|^1/2 , y(0)=0 unendlich viele, paarweise verschiedene maximale Lösungen y : I → R, 0 ∈ I, besitzt.

Ich habe mit Trennung der Variablen y=e^2x * 2c rausbekommen, weiß aber nicht wie ich ab da weitermachen soll, da hier mit einsetzen der AWP ja nur 0=2c entsteht.

Wär über jede Hilfe sehr dankbar.

Answer 1

Hallo,

ich glaube, Du hast Dich verrechnet bei der Bestimmung Deiner Lösung.

Eine unendliche Lösungsschar, wäre zum Beispiel mit einem Parameter a>0:

$$y(t)=0 \text{  für }t<a, \qquad y(t)=0.25(t-a)^2 \text{  für }t \geq a$$

Gruß Mathhilf

Comments

Hallo, danke schonmal für die Antwort.

Könntest du mir vielleicht kurz dann noch sagen wo ich mich hier verrechnet habe?:

\( \frac{dy}{dx} \) = \( \sqrt{y} \) 

\( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{dy}{\sqrt{y}} \) = \( \int\limits_{}^{} \) dx  

ln(\( \sqrt{y} \)) = x +C

\( \sqrt{y} \) = \( e^{x+C} \) 

y =  (\( e^{x+C} \))²

-> AWB y(0)=0

0 = \( e^{2C} \)

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Die Stammfunktion für \(y^{-1/2}\) ist \(2y^{1/2}\).

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Ohja, klar :D

Vielen Dank für die Hilfe! :)