Anfangswertproblem hat unendlich Lösungen

Question

Warum hat das AWP

x’(t) = x’(t)^2/3 mit Bedingung x’(0) = 0

unendlich viele Lösungen?

Also mit umformen kommt man ja auch die Lösung x(t) = 1/3 (t+c) mit c konstant bei der DGL & bzgl. des AWP dann auf x(t) = 1/3 * t , da ja hier c = 0 sein muss. Dazu ist ja auch x(t) = 0 für alle t, eine Lösung. Jedoch steht jetzt hier bei meinem Skript auch, das auch folgendes Lösungen sind und das das AWP deshalb unendlich Lösungen hat:

Das verstehe ich nicht…

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Txman: Nachdem Du jetzt die Fragestellung korrigiert hast, hast Du denn zu der neuen Version eine Frage?

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Ja also das müsste eigentlich schon stimmen. Habe gerade nudger geantwortet und da meinen Rechenweg gezeigt.

Meine Frage bleibt also dieselbe

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Aber der Rechenweg für "getrennte Veränderliche" garantiert allgemein nur dann eine eindeutige Lösung, wenn am Anfangspunkt nicht durch 0 zu dividieren ist.

Ebenso ist hier die Eindeutigkeitsvoraussetzung nach Picard Lindelöf verletzt.

Jetzt mache die Probe mit der Lösung aus Deiner Mitschrift.

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Ich danke dir. Das hat sich soeben geklärt.

Answer 1

Eine Lösung der DGL (nicht des AWP!) ist \(x(t)=\frac{(t+c)^3}{27}\). Dann lösen insbesondere die Funktionen

\(x_1(t)=\frac{(t-t_1)^3}{27}\) und \(x_2(t)=\frac{(t-t_2)^3}{27}\) die DGL mit \(t_1>0\) und \(t_2<0\). Wegen \(x_1(t_1)=0\) und \(x_2(t_2)=0\) ist die Funktion aus deinem Skript stetig und erfüllt die Anfangsbedingung \(x(t)=0\). Jetzt kann man einfach eine beliebige Umgebung \([t_1;t_2]\) um 0 wählen, so dass die Anfangsbedingung erfüllt ist, aber die beiden Abschnitte für \(t>t_1\) bzw. \(t<t_2\) die DGL lösen. Da die gewählte Umgebung beliebig ist, gibt es folglich unendlich viele solcher Funktionen.

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Danke dir. Das macht jetzt viel mehr Sinn :)

Answer 2

Hier stimmt einiges nicht.

Dgl ziemlich sicher falsch abgeschrieben, Anfangsbedingung vermutlich auch. In Deiner allgemeinen Lösung fehlen Klammern. Man kann die so ergänzen, dass die Dgl \(x'=x^2/3\) erfüllt ist. Deine Lösung zum AW ist falsch - Probe! Zu diesem AW wäre eine Lösung \(x(t)=0\) konstant.

Die Lösung aus dem Skript passt nicht zur Dgl (Probe!!!).

Was verstehst Du nicht? AWP sind nicht immer eindeutig lösbar. Sie sind es z.B., wenn die rechte Seite eine Lipschitzbedingung erfüllt (was aber nicht immer gegeben ist).

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Ich meinte das AWP

x‘(t) = x(t)^(2/3)

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Aha. Du ersparst uns einige Zeit/Mühe, wenn Du Deine Frage vor dem Posten nochmal durchliest.

Deine Lösung passt aber nicht. Und die aus dem Skript auch nicht. Ansonsten siehe oben. Prüfe nochmal alles genau - hast Du die Probe gemacht???

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Ich kam hiermit dazu:

x‘(t) = x(t)^(2/3)

<=>

dx / x(t)^(2/3) = dt

auf beiden seiten integrieren liefert

3 x(t)^(1/3) = t + c , mit c aus R

<=>

x(t)^(1/3) = (t+c)/3

<=>

x(t) = (t+c)^3 /27. Das ist ja die allgemeine Lösung der DGL. Wenn man jetzt noch das AWP betrachtet, kommt man auch

x(t) = t^3 /27, wobei c = 0 ist.

Probe:

x‘(t) = (1/9)*t^2 = ((1/27) (t+c)^3)^(2/3) = x(t)^(2/3)

Answer 3

x’(t) = x’(t)²/3

Lässt sich umformen zu

x’(t) - x’(t)²/3=0

x’(t) (1-x’(t)/3)=0

mit den beiden Möglichkeiten

x’(t)=0 

und

(1-x’(t)/3)=0 bzw. x'(t)=3

Damit komme ich (ohne Berücksichtigung der Anfangsbedingung) auch nur auf die Fälle x=c und x=3t+c.

Mach es doch mal andersrum: Überprüfe durch eine Probe, ob

\(x=\frac{(t-t_1)^3}{27}\) die DGL erfüllt.