Finde alle Lösungen mit der Eigenschaft, dass lim y(t)=0 (Anfangswertproblem bei allgemeiner Lösung)

Question

Angenommen ich habe folgende allgemeine Lösung für eine Differentialgleichung gefunden:

\( y(t)=\begin{array}{r}2 / 3 * C_{1} * e^{4 t}-C_{2} * e^{-t} \\ C_{1} * e^{4 t}+C_{2} * e^{-t}\end{array} \)

Nun ist die Aufgabe:

(i) Finde alle Lösungen mit der Eigenschaft, dass \( \lim \limits_{t \rightarrow \infty} y(t)=0 \).

(ii) Gibt es Lösungen \( y(t) \) für welche \( \lim \limits_{t \rightarrow \infty} y(t)=0 \) und \( \lim \limits_{t \rightarrow-\infty} y(t)=0 \) ?

Wie mache ich das?

Answer 1

Hi, mit
$$ y(t) = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} C_1 e^{4t} - C_2 e^{-t} \\ C_1 e^{4t} + C_2 e^{-t} \end{pmatrix} $$
und
$$ \lim_{x\to+\infty} = y(t) = 0 $$ folgt \( C_1 = 0 \)
Aus $$ \lim_{x\to-\infty} = y(t) = 0 $$ folgt \( C_2 = 0 \)
Gilt beides, aslo \(  \lim_{x\to\pm\infty} = y(t) = 0 \) folgt \( C_1 = C_2 = 0 \)

Comments

Hi, danke!

Habe ich das richtig verstanden dass (i) und (ii) die gleichen Lösungen haben, sprich C1=C2=0?

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Nee,

bei (i) ist die Lösung \( y(t,C_1,C_2) = y(t,0,C_2) = -C_2e^{-t}  \) und bei (ii) ist die Lösung \( y(t,0,0) = 0 \)