Finde alle Lösungen mit der Eigenschaft, dass lim y(t) = 0. (Differentialgleichungen)

Question

Aufgabe:

\( \begin{array}{l} y_{1}^{\prime}=y_{1}+2 y_{2} \\ y_{2}^{\prime}=3 y_{1}+2 y_{2} \end{array} \)

(i) Finde alle Lösungen mit der Eigenschaft, dass \( \lim \limits_{t \rightarrow \infty} y(t)=0 \).

(ii) Gibt es Lösungen \( y(t) \) für welche \( \lim \limits_{t \rightarrow \infty} y(t)=0 \) und \( \lim \limits_{t \rightarrow-\infty} y(t)=0 ? \)

Answer 1

$$ x'(t) = x(t)+2 y(t)$$
$$ y'(t) = 3 x(t)+2 y(t) $$

$$x(t) = C_1 \, \cdot \,\frac {   (2 \, e^{5 t}+3)}{5\,e^{t}}+C_2 \, \cdot \,\frac {   (2 \, e^{5 t}-2)}{5\,e^{t}}$$
$$y(t) = C_1 \, \cdot \,\frac {   (3 \, e^{5 t}-3)}{5\,e^{t}}+C_2 \, \cdot \,\frac {   (3 \, e^{5 t}+2)}{5\,e^{t}}$$

Comments

Hi, danke für die Hilfe.

kannst du eventuell noch genauer erklären wie du auf die Lösungen gekommen bist und welchen Ansatz du verwendet hast?

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Die Teilfunktionen werden erfahrungsgemäss die allgemeine Form $$C \cdot e^{ax }$$ annehmen.

Die Ableitung daraus würde auf $$C \cdot a \cdot e^{ax }$$ kommen.

Setzen wir diese Idee mal in die Aufgabenstellung ein:

Wir nehmen also an: $$ x(t)=e^{at }$$ und $$ y(t)=e^{bt }$$ und setzen ein:
$$  a \cdot e^{at } \, =\,\,\,\,\,\,\,\,\,K_1 \cdot  e^{at }+2\cdot K_2 \cdot  e^{bt }$$
$$  b \cdot  e^{bt}\,\,=3\,\cdot K_1 \cdot  e^{at}+2\cdot K_2 \cdot  e^{bt} $$
Nun wird gefordert: $$\lim_{t \rightarrow \infty} \begin{pmatrix} x(t)\\y(t) \end{pmatrix}=0$$
deshalb  isolieren wir zu x(t)= und y(t)= auf der linken Seite:
$$ ( a-K_1) \cdot e^{at } \, =2\cdot K_2 \cdot  e^{bt }$$
$$ ( b- K_2) \cdot  e^{bt}\,\,=3\,\cdot K_1 \cdot  e^{at} $$
$$ e^{at } \, =\frac {2\cdot K_2}{a-K_1} \cdot  e^{bt }$$
$$ e^{bt}\,= \frac {3\,\cdot K_1}{b- K_2} \cdot  e^{at} $$
und betrachten den Grenzwert:
$$\lim_{t \rightarrow \infty} \begin{pmatrix} \frac {2\cdot K_2}{a-K_1} \cdot  e^{bt }\\\frac {3\,\cdot K_1}{ b- K_2} \cdot  e^{at} \end{pmatrix}=0$$
wir können feststellen:
Definitionslücken bei a = K_1 und b = K_2 sowie eine Triviallösung bei K_1=K_2=0
$$$$Nun die Gretchenfrage:$$$$
Welche Eigenschaft(en) müssen a,b aufweisen, um die Vorgabe zu erfüllen ???

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Und jetzt noch die Hänselfrage :

Was habe ich da oben unter den Tisch fallen lassen ?

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Danke für die ausführliche Antwort!

Zu der Gretchenfrage: Da e^∞ unendlich gibt, würde ich sagen, dass der Bruch vorher = sein muss. Neben der Triviallösung würde ich sagen, müssen a und b riesig sein, damit der Bruch Null ergibt, sprich a=b=∞. Stimmt das so?

Zur Hänselfrage: Habe darüber nachgedacht, sehe es aber nicht wirklich, was hast du unter den Tisch fallen lassen?

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zu Gretchen:

Wichtige Werte der Exponentialfunktion zur Orientierung:
$$  e^1 =e$$$$  e^0 =1$$$$  e^{-x }=\frac 1{e^x}$$
$$ \lim_{x\rightarrow \infty} e^x =\infty$$
$$ \lim_{x\rightarrow\,  -\, \infty} e^x =\lim_{x\rightarrow \infty} e^{-x} =\lim_{x\rightarrow \infty}\,  \frac 1{e^x}= \frac 1 \infty =0$$
Die dabei zu erhoffende Erkenntnis lautet also:
Wenn das Resultat der einfachen Exponentialfunktion zu Null werden soll, muss der Exponent MINUS unendlich werden!

Ist gefordert, dass $$ \lim_{ t\rightarrow \infty} e^{bt}=0$$ und wir wissen, dass
$$ \lim_{ x\rightarrow \, -\, \infty} e^{x}=0$$
schliesst man daraus
$$ \lim_{( bt\rightarrow \, -\, \infty)\, \land  \,(t\rightarrow \infty)} e^{bt}=0$$
Zur Veranschaulichung setzen wir mal $$u=\infty$$
und betrachten was im Exponenten geschehen muss:
$$(bt=-u) \land (t=u)$$
auflösen nach b
$$(b=\frac{-u}t) \land (t=u)$$
$$b=\frac{-u}u$$$$b=-1$$
und setzen diese mühevoll erworbene Erkenntnis wiederum in die erste Vorgabe ein:

$$ \lim_{ t\rightarrow \infty} e^{bt}=0$$ $$ \lim_{ t\rightarrow \infty} e^{(-1) \cdot t}=0$$$$ \lim_{ t\rightarrow \infty} e^{- t}=0$$

und freuen uns, dass es passt!

a und b müssen also nicht riesig sein, sondern Minuseinz !

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Hänsel nimmt nun die Erkenntnis dass der Exponent negativ sein muss mit in die Musterlösung ganz oben und wundert sich, dass dort positive Exponenten dominieren und ganz im Gegensatz zu der bisherigen Betrachtung die Funktionswerte beim Ansteigen von  t gegen Unendlich nicht gegen Null gehen, sondern durch die Decke ins Unversum schiessen.

War der Ansatz falsch? Sah doch alles so logisch aus ...

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Oke jetzt bin ich etwas verwirrt, bist du nun bei Aufgabe i) oder ii), oder wieso lassen wir das nun gegen -∞ gehen?

Und wie kommt man von da auf die Lösungen, die du zuoberst aufgschrieben hast, bzw. von wo kommt diese 5?

Ich habe den Überblick leider verloren :(

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Ok - vergiss alles bisher gesagte - ich wollte nur mal schaun , ob Du der falschen Fährte folgen kannst.

Warte mal noch ein bissl - ich schreib grad noch die Gebrauchsanweisung für den richtigen Lösungsweg ...

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achsoo, oke ^^

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$$ x'(t) = x(t)+2 y(t) $$$$y'(t) = 3 x(t)+2 y(t)$$
Da sich die beiden Gleichungen gegenseitig beeinflussen, ist es nicht zulässig, die beiden getrennt voneinander zu untersuchen wie Hänsel das gemacht hat. Es muss eine Matrix aufgestellt werden:
$$ \begin{pmatrix} x'(t)\\y'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \, \cdot \,  \begin{pmatrix} x(t)\\y(t) \end{pmatrix}$$
Der Ansatz der Exponentialfunktion war grundsätzlich richtig, es braucht aber  die Konstanten als Vorfaktor und zunächst nur einen Exponenten (p):
$$ \begin{pmatrix}   p\cdot \varkappa \cdot e^{p \cdot t}\\  p \cdot \lambda \cdot   e^{p \cdot t}  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \,\cdot \,  \begin{pmatrix} \varkappa \cdot  e^{p \cdot t}\\ \lambda \cdot  e^{p \cdot t} \end{pmatrix}$$
wir multiplizieren auf beiden Seiten von rechts mit folgender Matrix :
$$ \begin{pmatrix}   p\cdot \varkappa \cdot e^{p \cdot t}\\  p \cdot \lambda \cdot   e^{p \cdot t}  \end{pmatrix}  \,\cdot \,  \begin{pmatrix}  e^{-p \cdot t} & 0\\ 0&   e^{-p \cdot t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \,\cdot \,  \begin{pmatrix} \varkappa \cdot  e^{p \cdot t}\\ \lambda \cdot  e^{p \cdot t} \end{pmatrix}  \,\cdot \,  \begin{pmatrix}  e^{-p \cdot t} & 0\\ 0&   e^{-p \cdot t} \end{pmatrix}$$
wodurch sich nach dem Ausmultiplizieren etwas Übersicht ergibt:
$$ \,  \begin{pmatrix}  p\cdot \varkappa & 0\\ 0&p \cdot \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \,\cdot \,   \begin{pmatrix}  \varkappa & 0\\ 0&   \lambda \end{pmatrix}$$
wir brauchen auf einer Seite eine Null, also wird die linke Seite subtrahiert...
$$ 0 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \,\cdot \,   \begin{pmatrix}  \varkappa & 0\\ 0&   \lambda \end{pmatrix}- \,  \begin{pmatrix}  p\cdot \varkappa & 0\\ 0&p \cdot \lambda \end{pmatrix}$$
... und faktoriert:
$$ 0 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \,\cdot \,   \begin{pmatrix}  \varkappa & 0\\ 0&   \lambda \end{pmatrix}- \,  \begin{pmatrix}  p & 0\\ 0&p  \end{pmatrix} \cdot  \,  \begin{pmatrix}   \varkappa & 0\\ 0&\lambda  \end{pmatrix}$$
zum Glück darf man das Distributivgesetz anwenden:
$$ 0 = \left(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} - \,  \begin{pmatrix}  p & 0\\ 0&p  \end{pmatrix} \right) \cdot  \,  \begin{pmatrix}   \varkappa & 0\\ 0&\lambda  \end{pmatrix}$$
Subtraktion ist einfach:
$$ 0 = \left(\begin{pmatrix} 1-p & 2 \\ 3 & 5-p \end{pmatrix}  \right) \cdot  \,  \begin{pmatrix}   \varkappa & 0\\ 0&\lambda  \end{pmatrix}$$
Der Nullproduktregel folgend betrachten wir nur den linken Faktor, da die Konstanten nicht Null sein sollten:
$$ 0 = \det \begin{pmatrix} 1-p & 2 \\ 3 & 5-p \end{pmatrix} $$
$$ 0 = ( 1-p)( 5-p) - 2 \cdot 3 $$
$$ 0 = ( 5-p-5p+p^2) - 6 $$
$$ 0 = p^2-6p+5 - 6 $$
$$ 0 = p^2-2 \cdot 3p - 1 $$
Quadratische Ergänzung statt Peh-Kuh-Formel:
$$ 0 = (p^2-2 \cdot 3p +3^2) -3^2 - 1 $$
$$ 0 = (p- 3)^2 - 10 $$
$$ 10 = (p- 3)^2  $$
$$ \, \pm \, \sqrt{ 10} = p- 3  $$
$$ 3 \, \pm \, \sqrt{ 10} = p_{1,2}  $$
$$  p_{1}=3 \, + \, \sqrt{ 10}   $$
$$  p_{2}=3 \, - \, \sqrt{ 10}   $$

... Fortsetzung folgt ...

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Blöder Tippfehler gleich am Anfang:

anstelle der 2 rechts unten habe ich eine 5 getippt und damit komplett runtergerechnet!

Zu spät zum editieren - bitte verbessern und nachrechnen - Korrektur kommt irgendwann viel später vielleicht noch heute.

SORRY!

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goregdur:

$$ 0=(1−p)(2−p)−2⋅3 $$
$$ 0=(2−3p+p^2)−2⋅3 $$
$$ 0=p^2-3p+2−2⋅3 $$
$$ 0=p^2-3p-4 $$
$$ 0=p^2-3p+ \left(\frac 32 \right)^2  - \left(\frac 32 \right)^2  -4 $$
$$ 0= \left(p-\frac 32 \right)^2  - \frac 94  -\frac {16}4 $$
$$ 0= \left(p-\frac 32 \right)^2    -\frac {25}4 $$
$$  \left(p-\frac 32 \right)^2    =\frac {25}4 $$
$$  \left(p-\frac 32 \right)    =\pm \, \sqrt{\frac {25}4} $$
$$  p=\frac 32     \pm \, \frac {5}2 $$
$$  p_1=4 $$
$$  p_2=-2 $$

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Hi, hast du bei p2 nicht einen Fehler gemacht?

ich bekomm 4 und -1 raus für die p raus.

Jedenfalls habe ich selber mal weitergerechnet, und bin auf folgende allgemeine Lösung gekommen:

\( y(t)=\begin{array}{r}2 / 3 * C_{1} * e^{4 t}-C_{2} * e^{-t} \\ C_{1} * e^{4 t}+C_{2} * e^{-t}\end{array} \)

Und jetzt muss ich ja Lösungen mit den Eigenschaften von (i) und (ii) finden und C₁ und C₂ bestimmen, wie mache ich nun weiter?

Answer 2

der Ansatz

y1;2 :=  a1;2 exp ( k t )   ( 1 )

die Eigenwertgleichung

k a1 = a1 + 2 a2    ( 2a )

a1 ( k - 1 ) - 2 a2  = 0   ( 2b )

analog die zweite DGL

- 3 a1  +  (  k - 2 ) a2 = 0     ( 2c )

( 2bc ) bilden ein homogenes LGS in a1;2 , das nur dann nicht triviale Lösungen hat, falls seine Determinante verschwindet:

( k - 1 ) ( k - 2 )  -  6 = k ² - 3 k  - 4 = 0    ( 3a )

Rein qualitativ ließe sich deine Frage ja schon mit der cartesischen Vorzeichenregel ( CV ) entscheiden - beide Exponenten müssen entgegen gesetztes Vorzeichen haben.

k1 < 0 < k2     ( 3b )

Rein von der Asymptotik geht nur k1 für t ===> ( + °° ) gegen Null;  und eine Linearkombination, die für ( +/- °° )  gegen Null geht, könnte es unabhängig von k nie geben.

Nein; ich mache das hier nicht mit der Mitternachtsformel. Ein kleines Kapitel Algebra; schau mal was Pappi alles weiß

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

( Ach übrigens; WARUM ist Wurzel 2 irrational??? )

Schon allein diese Frage lässt ernste Zweifel daran aufkommen, dass Gauß, wie behauptet, der Entdecker sei. Sei das Polynom f ( x )  in primitiver Form gegeben

f ( x )  €  |Z [ x ]  := a2 x ² + a1 x + a0      ( 4a )

Für ( 4a ) stellt sich ganz typisch die Alternative: Entweder es ist prim, das Minimalpolynom seiner Wurzeln. Oder es zerfällt in die beiden rationalen Linearfaktoren

x1;2 :=  p1;2 / q1;2 € |Q   ( 4b )

Unmittelbar, nachdem mir der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) bekannt wurde, stellte ich zwei pq-Formeln auf; genauer: eine p-und eine q-Formel. In der Notation ( 3a;4ab ) lauten sie

p1 p2 = a0 =  ( - 4 )  ( 4c )

q1 q2 = a2 = 1    ( 4d )

Gauß war ein Genie. Er wäre der Entdecker des SRN , und ihm sollte die Bedeutung von ( 4cd ) entgangen sein?  Und in den letzten 200 Jahren sollte niemand auf ( 4cd )  gestoßen sein? Absurd. Im Übrigen wirkt doch der wikiartikel seltsam steril; hat es da in den letzten 200 Jahren keinerlei Fortschritt gegeben?

Für die Wahrheit halte ich, dass der SRN    erst vor drei Jahren von einem  Freizeitmatematiker entdeckt wurde, der diesen in seinem Internetportal veröffentlichte.

Ihr habt verstanden, dass in  ( 3a ) zwei Kandidaten zur Wahl stehen. Die 4 besitzt die triviale Zerlegung 4 = 1 * 4 so wie die nicht triviale 4 = 2 * 2 . Allein die erste überlebt; denn x1;2 sind TEILER FREMD . Woher weiß ich jetzt das schon wieder? Siehe unten; machen wir erst mal fertig. Wir müssen noch das Vorzeichen richtig drehen; hinreichende Bedingung ist immer der Vieta von ( 3a )

p = x1 + x2 = 3    ( 4e )

Wie ist das jetzt mit dem ggt? Sei m ein Teiler;   dann folgt aus dem Satz von Vieta in der Notation ( 4ab )

m | p1;2 <===> m | a1 ; m ²  | a0    ( 5a )

Ein m, das die rechte Seite von ( 5a ) befriedigt, nenne ich K-Teiler  des Polynoms ( 4a ) Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt .

Und   " Teilerfürst " Gauß sollte nicht auf den gkt gestoßen sein? Da taucht wohl ein ganz anderer Verdacht auf. Bdkanntlich veffügte er, der Sinus des 17-Ecks sei in seinen Grabstein einzumeißeln - makaber.

Insgeheim träumte er davon, die Quadratur des Kreises zu lösen - der SRN war ihm wohl eher gleich bis gültig ...

Comments

Das urspüngliche DGL-System :
$$ x'(t) = x(t)+2 y(t) $$$$y'(t) = 3 x(t)+2 y(t)$$
Der Ansatz:
$$ \begin{pmatrix}   p\cdot \varkappa \cdot e^{p \cdot t}\\  p \cdot \lambda \cdot   e^{p \cdot t}  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \,\cdot \,  \begin{pmatrix} \varkappa \cdot  e^{p \cdot t}\\ \lambda \cdot  e^{p \cdot t} \end{pmatrix}$$
Die Gleichung zur Bestimmung der Exponenten:
$$ \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-p & 2 \\ 3 & 2-p \end{pmatrix}   \cdot  \,  \begin{pmatrix}   \varkappa & 0\\ 0&\lambda  \end{pmatrix}$$
Die Lösungen für die Exponenten:
$$p_1= \,\, 4$$   $$p_2=-1$$
A: Einsetzen von p1 = 4:
$$ \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4 & 2 \\ 3 & 2-4 \end{pmatrix}   \cdot  \,  \begin{pmatrix}   \varkappa \\ \lambda  \end{pmatrix}$$
$$ \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}   \cdot  \,  \begin{pmatrix}   \varkappa \\ \lambda  \end{pmatrix}$$

B: Einsetzen von p2=-1
$$ \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-p & 2 \\ 3 & 2-p \end{pmatrix}   \cdot  \,  \begin{pmatrix}   \varkappa & 0\\ 0&\lambda  \end{pmatrix}$$
$$ \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-(-1) & 2 \\ 3 & 2-(-1) \end{pmatrix}   \cdot  \,  \begin{pmatrix}   \varkappa \\ \lambda  \end{pmatrix}$$
$$ \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}   \cdot  \,  \begin{pmatrix}   \varkappa \\ \lambda  \end{pmatrix}$$
Zusammenführung der Teilergebnisse:
$$ \begin{pmatrix} x(t)\\y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}   \cdot  \,  \begin{pmatrix}   \varkappa \\ \lambda  \end{pmatrix} \, \cdot e^{4t}\,+\,  \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}   \cdot  \,  \begin{pmatrix}   \varkappa \\ \lambda  \end{pmatrix} \cdot e^{-t}$$

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Du hast noch mal explizit die gqanzen e-Fun ktionen angegeben.

Answer 3

die gegebenen Antworten finde ich nicht befriedigend. Es gilt doch

$$ y'(t) = Ay(t)  $$ mit \( y(t) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2  \end{pmatrix} \) und \( y(t) = \begin{pmatrix} y_1(t) \\ y_2(t)  \end{pmatrix}  \)

Die Lösung ist

$$  y(t) = e^{At} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2  \end{pmatrix}  $$ wobei \( \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2  \end{pmatrix}  \) die Anfangsbedingungen sind.

Um \( e^{At}  \) ausrechnen zu können, musst Du die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix \( A \) berechnen. Diese sind \(  \lambda = \begin{pmatrix} 4 \\ -1  \end{pmatrix}  \) und \( T =  \begin{pmatrix} -1 & \frac{2}{3} \\ 1 & 1  \end{pmatrix} \) Es gilt weiter \(  e^{At} = T e^{Dt} T^{-1}  \) wie man aus der Potenzreihendarstellung der Exponentialfunktion ersehen kann. Das ergibt als Lösung

$$  y(t) = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} e^{-t} ( 3c_1 -2c_2) + e^{4t} (2c_1 + 2c_2 ) \\  e^{-t} ( 2c_2-3c_1) + e^{4t} (3c_1+3c_2) \end{pmatrix}  $$

für den Rest siehe

https://www.mathelounge.de/239613/anfangswertproblem-bei-allgemeiner-losung#c239624