Ok ich werde aber ein paar Vereinfachungen verwenden ums für dich nicht unnötig kompliziert zu machen, werde diese Stellen aber markieren.
Zu allerest zum Kritierum:
Wir betrachten hier ja nur reelle Funktionen. Die Stetigkeit einer solchen Funktion \(f(x)\) in einem Punkt \(x_0 \in \mathbb{R}\) aus dem Definitionsbereich ist gegeben, wenn wir zu einer beliebigen positiven reellen Zahl \(\varepsilon > 0 \) immer eine positive Zahl \( \delta > 0 \) finden können, so dass gilt:
Wenn \( |x-x_0| < \delta \) dann ist \(|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \), was soviel bedeutet wie:
Wenn \(x\) einen kleineren Abstand als \(\delta\) von \(x_0\) hat so sind die Funktionswerte weniger als \(\varepsilon\) voneinander entfernt. Da \(\varepsilon\) beliebig ist (aber positiv nicht vergessen) bedeutet dies, wir können bei einer Skizze der Funktion auf den Punkt \((x_0/f(x_0) )\) beliebig nah ranzoomen und werden keinen Sprung an dieser Stelle \(x_0\) finden. (Ist die Funktion sogar überall stetig, also der Punkt \(x_0\) beliebig, so können wir nirgends einen Sprung im Verlauf finden :)).
Kommen wir aber nun zur Anwendung des Kritierums (der für dich wahrscheinlich interessantere Part ;) ):
1. Die Funktion \(g(x) = 2x \) ist im Punkt \(x_0=2\) stetig
Sei also \(\varepsilon > 0 \) beliebig gewählt. Aus der Umformung:
$$ \begin{aligned} |g(x)-g(2)| < \varepsilon \\ |2x-4| < \varepsilon \\ |x-2| < \frac{\varepsilon}{2} \end{aligned} $$
Haben wir mit \( \delta := \frac{\varepsilon}{2} \) bereits zu jedem \(\varepsilon \) das entsprechende \(\delta\) gefunden und sind somit fertig :).
2. Die Funktion \(h(x) = e^x \) ist im Punkt \(x_0 = 2 \) stetig
Hier mache ich die Vereinfachung für uns beide, dass wir mal davon ausgehen das der Logarithmus und seine strenge Monotonie bekannt ist. Es gibt andere Alternativen die nicht den Logarithmus verwenden aber damit will ich dich an dieser Stelle nicht ablenken. Uns geht es mehr um die "technische" Vorgehensweise.
Sei also wieder \(\varepsilon > 0 \) beliebig gewählt. Aus der Umformung:
$$ \begin{aligned} |h(x)-h(2)| &< \varepsilon \\ |e^x-e^2| &< \varepsilon \\ |e^{x-2}-1| &< \frac{\varepsilon}{e^2} \\ |x-2| &< \ln \left(\frac{\varepsilon}{e^2}+1\right) =: \delta\end{aligned} $$
Wobei wir bei bei der letzten Umformung die oben angesprochen Vereinfachung verwendet haben und wieder unser \(\delta\) gefunden haben.
Nun kommen wir zum Schluss:
3. Die Funktion \(f(x)=g(x)+h(x) =2x+ e^x \) ist im Punkt \(x_0 = 2 \) stetig
Hier müssen wir gar kein \(\delta\) finden sondern benutzen unsere bereits erhaltenen Ergebnisse. Was wir noch benötigen ist die sogenannte Dreiecksungleichung:
\((*) \ |x+y| \leq |x| + |y| \) (Im Grunde wieder eine zusätzliche Voraussetzung).
Anschaulich: Die längste Seite im Dreieck ist nie größer als die Summe der beiden kürzeren Seiten (daher auch der Name).
Also wir machen jetzt eine nette Auswahl und zwar legen wir für ein \(\varepsilon > 0 \) das \(\delta\) fest in dem wir das Minimum von ähnlichen Ausdrücken aus unseren Ergebnissen aussuchen:
$$ \delta = \min\left \{\frac{\frac{\varepsilon}{2}}{2}, \ln\left(\frac{\frac{\varepsilon}{2}}{e^2}+1\right) \right \} $$
\(\delta\) soll also das kleinere von den Beiden obigen Ausdrücken sein. Somit gilt aber aus 1. und 2., wenn nun \(|x-2| < \delta\), dann ist
$$ |g(x)-g(2)| < \frac{\varepsilon}{2} \text{ und } |h(x)-h(2)| < \frac{\varepsilon}{2} $$
Beachte im Vergleich zu 1. und 2. haben wir anstatt \(\varepsilon\) auf \(\frac{\varepsilon}{2} \) abgezielt. Warum sollte gleich klar werden.
Mit der Dreiecksungleichung \( (*) \) gilt nun aber, wenn \(|x-2| < \delta \) für die Funktion \(f(x)\):
$$ \begin{aligned} |f(x)-f(2)| &= |g(x)+h(x)-g(2)-h(2)| \\ &= |g(x)-g(2) + h(x)-h(2)| \\ &\overset{(*)}\leq |g(x)-g(2)| + |h(x)-h(2)| \\ &< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{aligned}$$
Womit die Stetigkeit von \(f(x)\) im Punkt \(x_0 =2 \) gezeigt wäre. Grundsätzlich kann man analog (natürlich muss man die Vereinfachungen nochmal kritisch betrachten) die Stetigkeit auf ganz \(\mathbb{R}\) zeigen, wenn man anstatt \(x_0=2\) ein beliebiges \(x_0\) wählt.
Lass das erstmal sacken :), es werden bestimmt ein Paar Fragen kommen.
