Stetigkeit einer Funktion prüfen; Epsilon-Delta Kriterium. f(x)=(2x+3)/5 Definitionsbereich: IR

Question

Ich habe gerade ein kleines Verständnisproblem, hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen:

Bisher habe ich das Epsilon-Delta Kriterium immer verwendet um zu Beweisen, dass eine Funktion in einem bestimmten Punkt stetig ist.

Um zu überprüfen ob die Funktion an einem Punkt stetig ist, überprüfe ich immer, ob der linke gleich dem rechten Grenzwert ist.

Um zu überprüfen ob eine Funktion im allgemeinen Stetig ist, überprüfe ich, ob eine Definitionslücke, Polstelle oder Sprungstelle auftaucht. Denn liegt so etwas vor, ist die Funktion nicht stetig!

Nun habe ich jedoch eine Aufgabe, bei der ich eine Funktion auf Stetigkeit überprüfen soll, indem ich das Epsilon- Delta Kriterium anwende.

Jedoch verwende ich diese Kriterium ja sonst nur um die Stetigkeit in einem bestimmten Punkt zu beweisen. Wie soll ich dies denn jetzt im Allgemeinen für eine Funktion tun, wobei ich keinen bestimmten Punkt betrachte???

Hier mal die Aufgabe:

f(x)=(2x+3)/5  Definitionsbereich: IR

Danke für Hilfe :)

Answer 1

Dann wendest du das Kriterium an der Stelle \(x_0\) für beliebiges \(x_0\) an.

Comments

Ok ich probiere das mal aus , melde mich dann nochmal ;)

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So habe die Aufgabe gelöst und folgenden Beweis heraus:

Sei Epsilon>0, dann folgt mit Delta<(5/2)Epsilon, dass für alle x aus IR mit I(x-x₀)I<Delta gilt:

If(x)-f(x₀)I

= I((2x+3)/5)-((2x₀+3)/5)I

= I(2x-2x₀)/5I

= (2/5) * Ix-x₀I

< (2/5) * Delta

< (2/5) * (5/2) * Epsilon

= Epsilon

Stimmt das so?

Und ist das jetzt der Beweis das die Funktion in jedem x₀ stetig ist???

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Perfekt! (allerdings kannst du am Anfang sogar \(\delta=\frac{5}{2}\varepsilon\) wählen, dann hat man in der vorletzten Zeile ein = statt <)
Dieser Beweis funktioniert für beliebiges \(\varepsilon\), d.h. die Funktion ist überall stetig.

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Jetzt habe ich endlich verstanden wie man solche Aufgaben löst!:-)