Lösung des AWP y′(x) = y(x)sin(x) + sin(2x), y (π/2) = 0

Question

      bestimme die   Lösung des AWP y′(x) = y(x)sin(x) + sin(2x), y (π/2) = 0

      bitte mit allen Zwischenschritten. Sonst verstehe ich sie nicht.

Dank!!!

          

Answer 1

y'=y sin(x) +sin(2x)

y'-y sin(x) +sin(2x)

1. Lösung der homogene Gleichung durch Trennung der Variablen:

y'-y sin(x) =0

dy/dx -y sin(x)=0

dy/dx =y sin(x)

dy/y=sin(x) dx

..

Lösung: y_h=C *e^{-cos(x)

2. C=C(x)

yp= C(x) *e^{-cos(x)}

yp'= C'(x) *e^{-cos(x) +C(x) *sin(x) e^{-cos(x)}

3. Einsetzen von yp und yp' in die DGL

y'= y sin(x) +sin(2x)

C'(x) *e^{-cos(x) +C(x) *sin(x) e^{-cos(x)}} =C(x) *e^{-cos(x) *sin(x) +sin(2x)}

C'(x) *e^{-cos(x)}  = sin(2x)

C'(x)=  sin(2x) *e^{cos(x)}  → sin(2x)=2 sin(x) cos(x)

C(x)=2  ∫ sin(x) cos(x) *e^{cos(x)dx}  → partielle Integration

C(x) = -2 e^{cos(x) (cos(x) -1)

4. C(x) kürzt sich bei richtiger Rechnung heraus

C'(x) =C'(x)=  sin(2x) *e^{cos(x)}dx

C(x) =-2 e^{cos(x) (cos(x) -1)

5. yp= C(x) *e^{-cos(x)} , dort C(x) einsetzen

yp= e^{-cos(x) * (-)2 e^{cos(x) (cos(x) -1)

yp= -2 cos(x) +2

6. y =yh +yp

Lösung: y(x) = C1 e^{-cos(x)} - 2 cos(x) + 2

7. AWB in die Lösung einsetzen:

y(x) = -2 cos(x) - 2 e^{-cos(x)} + 2