Gegeben ist das AWP. Bestimmen Sie mit dem Ansatz y(x) = x + A eine Lösung y1 von (**).

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das AWP (*) für x > 0

y₀'= y₁ + \( x^{4} \)

y₁'= - \( \frac{2}{x^2} \) * y₀ + \( \frac{2}{x} \) * y₁ - 2 \( x^{3} \)

y₀(1) = 1;  y₁(1) = −1

Problem/Ansatz:

a) Geben Sie das zu (*) gehörige homogene System an und zeigen Sie, dass es zu der DGL

(∗∗) \( x^{2} \) y′′ = 2(xy′ − y)

äquivalent ist.

(b) Bestimmen Sie mit dem Ansatz y(x) = x + A eine Lösung y₁ von (**).

(c) Verwenden Sie das Reduktionsverfahren, um eine weitere Lösungen von (∗∗) zu ermitteln. Zeigen Sie durch geeignete Wahl der Konstanten, dass y₂ = \( x^{2} \) zu diesen weiteren Lösungen gehört.

(d) Weisen Sie die lineare Unabhängigkeit von y₁ und y₂ nach.

(e) Geben Sie ein Fundamentalsystem zu (*) an und lösen Sie das inhomogene AWP.

Kann das hier jemand und mir helfen?

Answer 1

Hallo,

a) zeigen Sie, dass es zu der DGL
(∗∗) \( x^{2} \) y′′ = 2(xy′ − y) äquivalent ist.

-homogene System:

\( y_{0}^{\prime}=y_{1}\)

\( y_{1}^{\prime}=-\frac{2}{x^{2}} * y_{0}+\frac{2}{x} * y_{1}\)

-zeigen Sie, dass es zu der DGL  \( x^{2} \) y′′ = 2(xy′ − y) äquivalent ist.

y₀'=y₁

y₀''=y₁'

eingesetzt in :\( y_{1}^{\prime}=-\frac{2}{x^{2}} * y_{0}+\frac{2}{x} * y_{1}\)

y₀'' = (-2)/x^2 * y₀ +(2/x) *y₀' | *x^2

y₀'' x^2 = (-2)y₀ +2*x *y₀'

y₀'' x^2 = 2 (x *y₀' -y₀)

b)   Bestimmen Sie mit dem Ansatz y(x) = x + A eine Lösung y1 von (**)

Was bedeutet A?

c) Ansatz:

y=μ * x^2

y'= μ' x^2 +μ 2x

y''= μ'' x^2+4 μ'x +2μ

setzte y, y' und y'' in die DGL ein

d)  Weisen Sie die lineare Unabhängigkeit von y1 und y2

via Wronsky Determinante:

Lösung der DGL:

y=C1x +C2x^2

W(x)= | x x^2 |

         |1  2x |

=2x^2-x^2= x^2≠ 0

e) Lösung:

\( y 0(x)=-(x-2) x \)

\( y 1(x)=-x^{4}-2 x+2 \)

Comments

Hallo und er einmal Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Zu b) A ist eine lineare Konstante

Zu c) wenn ich die drei Gleichungen in die DGL einsetze kommt raus:

µ'' \( x^{4} \)  + 2µ' \( x^{3} \) = 0

Wie komme ich dadurch auf die Lösungen und wie zeige ich, dass y₂=x². Auch eine Lsg ist?

Zu e)

Wie kommst du auf diese Lösung?

Vielen Dank

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zu c)

µ'' \( x^{4} \)  + 2µ' \( x^{3} \) = 0 |:x^3 ≠0

µ'' \( x \)  + 2µ' \( \) = 0

Substituiere:

z=μ '

z' =μ ''

--->

z' x+2z=0

usw

dann noch resubstituieren

dann kommst Du auf x^2

melde mich nochmal :)

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Alles klar, danke :)

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Aufgabe b)

Ich kann Dir das mit dem Ansatz

y= x*z oder

y=x^(λ)

berechnen, mit dem angegebenen Ansatz kann ich leider nichts anfangen.

Was ist A wirklich. was steht dazu in der Aufgabe?

Aufgabe e)

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Vielen Dank

Ich habe die Aufgabe 1zu1 abgetippt. Ich habe nachgefragt und er meinte A ist eine lineare Konstante.

Ein Freund von mir meinte, ich soll bei der b) den Ansatz ableiten und in die DGL einfügen und dann einen Koeffizientenvergleich machen um A zu bestimmen?

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y′′ = 2(xy′ − y)

y(x) = x + A

y'(x)= 1

y'' =0

--->

0= 2(x -x-A)

0= -2 A

A=0

--->

y₁(x) = x

Ergänzung zu c)

(c) Verwenden Sie das Reduktionsverfahren, um eine weitere Lösungen von (∗∗) zu ermitteln

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Super, vielen Dank!!