Hallo, eine Möglichkeit wäre zunächst einmal die ersten drei Partialsummen mal hinzuschreiben:
\(\sum \limits_{k=1}^{1}\frac{k}{q^{k}}=\frac{1}{q}\stackrel{!}{=}\frac{aq+b+c}{q}\)
\(\sum \limits_{k=1}^{2}\frac{k}{q^{k}}=\frac{1}{q}+\frac{2}{q^2}\stackrel{!}{=}\frac{aq^2+2b+c}{q^2}\)
\(\sum \limits_{k=1}^{3}\frac{k}{q^{k}}=\frac{1}{q}+\frac{2}{q^2}+\frac{3}{q^3}\stackrel{!}{=}\frac{aq^3+3b+c}{q^3}\).
Beim genauen Betrachten hat man ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen \(a,b\) und \(c\), da bereits \(q\) ein Parameter ist mit der Eigenschaft \(|q|>1\). Tipp: Bevor man dieses System löst, empfielt es sich erstmal die Nenner durch Multiplizieren zu eleminieren. Dann kann man mit dem Lösen anfangen.
Somit hat man bereits für \(n=1,2,3\) die Formel (auf der rechten Seite) im Prinzip gezeigt. Um nun die Gültigkeit für alle \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1}\) zu zeigen musst du dann den Induktionsbeweis durchführen.