Taylorreihe Entwicklungspunkt allgemeine Formel Konvergenzradius vollständige Induktion

Question

bräuchte bei folgender Aufgabenstellung eure Hilfe.
Ich bin wie folgt vorgegangen:
a) f(x) = xe^-x       viermal ableiten.
f^1(x) = xe^-x + e^-xf^2(x) = xe^-x + 2e^-xf^3(x) = xe^-x + 3e^-xf^4(x) = xe^-x + 4e^-x             daraus folgt die n-te Ableitung:       f^n(x) = xe^-x + ne^-x
eingesetzt in die Formel 
P(x) = (f(0)/0!)*x^0 + (f^1(0)/1!)*x^1 + (f^2(0)/2!)*x^2 + ... + (f^4(0)/4!)*x^4
ergibt das 
P(x) = (0/0!)*1^0 + (1/1!)*1^1 + (2/2!)*1^2 + (3/3!)*1^3 + (4/4!)*1^4  usw....
ist das soweit richtig ? Und wäre damit die Aufgabe a) erledigt ? 
b) ab hier wird es etwas unverständlich für mich ... 

Comments

Ich korrigiere meine Aufgabe a) und zwar müsste sie richtig lauten:

Richtig so ? 

---

Nr. 2b) dürfte dann wie folgt aussehen 

richtig so ?

Answer 1

Aufgabe a) hast du richtig berechnet.

Bei Aufgabe b) stimmt dein Ansatz, aber ich glaube du sollst die explizite Form für die gegebene Funktion einsetzen. Du hast bei bei a) schon die ersten 4 Ableitungen berechnet. Es stellt sich die Vermutung, dass 

d^n/dx^n [x*e^{-x}]=(-1)^n*(x-n)*e^{-x} ist. Das kann man auch mit Induktion beweisen, aber du sollst die Formel ja nur angeben. Wenn du x=0 in diese Formel einsetzt ergibt sich f^{n}(0)=(-1)^{n+1}*(n). 

(Unten steht ja schon die Formel die dürft ihr scheinbar als gegeben nehmen)

--> f(x)=∑_n=0 ^∞ (-1)^{n+1}*(n)/n!*x^n

--> a_n=(-1)^{n+1}*(n)/n!

c) Von der obigen Reihe kannst du nun den Konvergenzradius berechnen, z.B mit dem Quotientenkriterium:

r=lim n-->∞abs[a_n/a_n+1]=lim n-->∞abs[(-1)^{n+1}*(n)/n!/[(-1)^{n+2}*(n+1)/(n+1)!]]=lim n-->∞abs[-1^{-1}*n*(n+1)!/((n+1)*n!)]=lim n-->∞  n=∞

Die Reihe konvergiert somit für alle x∈ℝ